Trigonometría Ejemplos

$y = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 1 - 2 \sin^{2} (6 y)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $1 - 2 \sin^{2} (6 y) = x$ .

$1 - 2 \sin^{2} (6 y) = x$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin^{2} (6 y) = x - 1$

Paso 2.3

Divide cada término en $- 2 \sin^{2} (6 y) = x - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $- 2 \sin^{2} (6 y) = x - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (6 y)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin^{2} (6 y)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $\sin^{2} (6 y)$ por $1$ .

$\sin^{2} (6 y) = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin^{2} (6 y) = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

Paso 2.3.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin^{2} (6 y) = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (6 y) = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$

Paso 2.5

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (6 y) = \pm \sqrt{\frac{- x + 1}{2}}$

Paso 2.5.2

Reescribe $\sqrt{\frac{- x + 1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.5.3

Multiplica $\frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.5.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 2.5.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 2.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 2.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.5.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{(- x + 1) \cdot 2}}{2}$

Paso 2.5.6

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(- x + 1) \cdot 2}}{2}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (6 y) = \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (6 y) = - \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (6 y) = \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Paso 2.7

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $y$ .

$\sin (6 y) = \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

$\sin (6 y) = - \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Paso 2.8

Resuelve $y$ en $\sin (6 y) = \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$ .

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Paso 2.8.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$6 y = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$

Paso 2.8.2

Divide cada término en $6 y = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ por $6$ y simplifica.

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Paso 2.8.2.1

Divide cada término en $6 y = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ por $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Paso 2.8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.8.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Paso 2.8.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Paso 2.9

Resuelve $y$ en $\sin (6 y) = - \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$ .

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Paso 2.9.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$6 y = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$

Paso 2.9.2

Divide cada término en $6 y = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ por $6$ y simplifica.

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Paso 2.9.2.1

Divide cada término en $6 y = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ por $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Paso 2.9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.9.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.9.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Paso 2.9.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Paso 2.10

Enumera todas las soluciones.

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

$y = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

$y = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ es la inversa de $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ .

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Paso 4.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ y $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ y compáralos.

Paso 4.2

Obtén el rango de $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ .

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Paso 4.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[1, 3]$

Paso 4.3

Obtén el dominio de $\frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ .

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Paso 4.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 (- x + 1)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 (- x + 1) \geq 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $x$

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Paso 4.3.2.1

Divide cada término en $2 (- x + 1) \geq 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.1.1

Divide cada término en $2 (- x + 1) \geq 0$ por $2$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 4.3.2.1.2.1.2

Divide $- x + 1$ por $1$ .

$- x + 1 \geq \frac{0}{2}$

Paso 4.3.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$- x + 1 \geq 0$

Paso 4.3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x \geq - 1$

Paso 4.3.2.3

Divide cada término en $- x \geq - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.3.1

Divide cada término de $- x \geq - 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.2.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x \leq 1$

Paso 4.3.3

Establece el argumento en $\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ mayor o igual que $- 1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \geq - 1$

Paso 4.3.4

Resuelve $x$

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Paso 4.3.4.1

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \cdot 2 \geq - 1 \cdot 2$

Paso 4.3.4.2

Simplifica.

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Paso 4.3.4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \cdot 2 \geq - 1 \cdot 2$

Paso 4.3.4.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2 (- x + 1)} \geq - 1 \cdot 2$

Paso 4.3.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{2 (- x + 1)} \geq - 2$

Paso 4.3.4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.4.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{2 (- x + 1)}}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.4.3.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 4.3.4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (- x + 1)}$ como ${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.4.3.2.2.1

Simplifica ${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.4.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.4.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.4.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.4.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 (- x + 1))}^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.4.3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 (- x) + 2 \cdot 1)}^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.4.3.2.2.1.3

Multiplica.

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Paso 4.3.4.3.2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

${(- 2 x + 2 \cdot 1)}^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.4.3.2.2.1.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.4.3.2.2.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

${(- 2 x + 2)}^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.4.3.2.2.1.3.2.2

Simplifica.

$- 2 x + 2 \geq {(- 2)}^{2}$

Paso 4.3.4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.3.2.3.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- 2 x + 2 \geq 4$

Paso 4.3.4.3.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.4.3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 4.3.4.3.3.1.1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 2 x \geq 4 - 2$

Paso 4.3.4.3.3.1.2

Resta $2$ de $4$ .

$- 2 x \geq 2$

Paso 4.3.4.3.3.2

Divide cada término en $- 2 x \geq 2$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 4.3.4.3.3.2.1

Divide cada término de $- 2 x \geq 2$ por $- 2$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{2}{- 2}$

Paso 4.3.4.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.4.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{2}{- 2}$

Paso 4.3.4.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{2}{- 2}$

Paso 4.3.4.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.3.3.2.3.1

Divide $2$ por $- 2$ .

$x \leq - 1$

Paso 4.3.4.4

Obtén el dominio de $\frac{\sqrt{2 (- x + 1)} + 2}{2}$ .

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Paso 4.3.4.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 (- x + 1)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 (- x + 1) \geq 0$

Paso 4.3.4.4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.3.4.4.2.1

Divide cada término en $2 (- x + 1) \geq 0$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.4.2.1.1

Divide cada término en $2 (- x + 1) \geq 0$ por $2$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 4.3.4.4.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.4.4.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.4.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 4.3.4.4.2.1.2.1.2

Divide $- x + 1$ por $1$ .

$- x + 1 \geq \frac{0}{2}$

Paso 4.3.4.4.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.4.2.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$- x + 1 \geq 0$

Paso 4.3.4.4.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x \geq - 1$

Paso 4.3.4.4.2.3

Divide cada término en $- x \geq - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.4.4.2.3.1

Divide cada término de $- x \geq - 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.4.4.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.4.4.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.4.4.2.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.4.4.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.4.2.3.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x \leq 1$

Paso 4.3.4.4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 1]$

Paso 4.3.4.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Paso 4.3.4.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.3.4.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.3.4.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 4.3.4.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{\sqrt{2 (- (- 4) + 1)}}{2} \geq - 1$

Paso 4.3.4.6.1.3

$1.58113883$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.3.4.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.3.4.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 4.3.4.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{\sqrt{2 (- (0) + 1)}}{2} \geq - 1$

Paso 4.3.4.6.2.3

$0.70710678$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.3.4.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.3.4.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 4.3.4.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{\sqrt{2 (- (4) + 1)}}{2} \geq - 1$

Paso 4.3.4.6.3.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.3.4.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 4.3.4.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 1$ o $- 1 \leq x \leq 1$

Paso 4.3.4.8

Combina los intervalos.

$x \leq 1$

Paso 4.3.5

Establece el argumento en $\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ menor o igual que $1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \leq 1$

Paso 4.3.6

Resuelve $x$

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Paso 4.3.6.1

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \cdot 2 \leq 1 \cdot 2$

Paso 4.3.6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \cdot 2 \leq 1 \cdot 2$

Paso 4.3.6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2 (- x + 1)} \leq 1 \cdot 2$

Paso 4.3.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.6.2.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\sqrt{2 (- x + 1)} \leq 2$

Paso 4.3.6.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{2 (- x + 1)}}^{2} \leq 2^{2}$

Paso 4.3.6.3.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 4.3.6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (- x + 1)}$ como ${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 2^{2}$

Paso 4.3.6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.6.3.2.2.1

Simplifica ${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.6.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 2^{2}$

Paso 4.3.6.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.6.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 2^{2}$

Paso 4.3.6.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 (- x + 1))}^{1} \leq 2^{2}$

Paso 4.3.6.3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 (- x) + 2 \cdot 1)}^{1} \leq 2^{2}$

Paso 4.3.6.3.2.2.1.3

Multiplica.

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Paso 4.3.6.3.2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

${(- 2 x + 2 \cdot 1)}^{1} \leq 2^{2}$

Paso 4.3.6.3.2.2.1.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.6.3.2.2.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

${(- 2 x + 2)}^{1} \leq 2^{2}$

Paso 4.3.6.3.2.2.1.3.2.2

Simplifica.

$- 2 x + 2 \leq 2^{2}$

Paso 4.3.6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.6.3.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 2 x + 2 \leq 4$

Paso 4.3.6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.6.3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 4.3.6.3.3.1.1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 2 x \leq 4 - 2$

Paso 4.3.6.3.3.1.2

Resta $2$ de $4$ .

$- 2 x \leq 2$

Paso 4.3.6.3.3.2

Divide cada término en $- 2 x \leq 2$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 4.3.6.3.3.2.1

Divide cada término de $- 2 x \leq 2$ por $- 2$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 2 x}{- 2} \geq \frac{2}{- 2}$

Paso 4.3.6.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.6.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} \geq \frac{2}{- 2}$

Paso 4.3.6.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 2}$

Paso 4.3.6.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.6.3.3.2.3.1

Divide $2$ por $- 2$ .

$x \geq - 1$

Paso 4.3.6.4

Obtén el dominio de $\frac{\sqrt{2 (- x + 1)} - 2}{2}$ .

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Paso 4.3.6.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 (- x + 1)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 (- x + 1) \geq 0$

Paso 4.3.6.4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.3.6.4.2.1

Divide cada término en $2 (- x + 1) \geq 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.3.6.4.2.1.1

Divide cada término en $2 (- x + 1) \geq 0$ por $2$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 4.3.6.4.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.6.4.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.6.4.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Paso 4.3.6.4.2.1.2.1.2

Divide $- x + 1$ por $1$ .

$- x + 1 \geq \frac{0}{2}$

Paso 4.3.6.4.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.6.4.2.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$- x + 1 \geq 0$

Paso 4.3.6.4.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x \geq - 1$

Paso 4.3.6.4.2.3

Divide cada término en $- x \geq - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.6.4.2.3.1

Divide cada término de $- x \geq - 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.6.4.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.6.4.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.6.4.2.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.6.4.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.6.4.2.3.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x \leq 1$

Paso 4.3.6.4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 1]$

Paso 4.3.6.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Paso 4.3.6.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.3.6.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.3.6.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 4.3.6.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{\sqrt{2 (- (- 4) + 1)}}{2} \leq 1$

Paso 4.3.6.6.1.3

$1.58113883$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.3.6.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.3.6.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 4.3.6.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{\sqrt{2 (- (0) + 1)}}{2} \leq 1$

Paso 4.3.6.6.2.3

$0.70710678$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.3.6.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.3.6.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 4.3.6.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{\sqrt{2 (- (4) + 1)}}{2} \leq 1$

Paso 4.3.6.6.3.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.3.6.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 4.3.6.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 \leq x \leq 1$

Paso 4.3.7

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 1, 1]$

Paso 4.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ no es igual al rango de $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ no es una inversa de $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ .

No hay una inversa

Paso 5