Trigonometría Ejemplos

$y = 1 + 2 \arctan (x)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 1 + 2 \arctan (y)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $1 + 2 \arctan (y) = x$ .

$1 + 2 \arctan (y) = x$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \arctan (y) = x - 1$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 \arctan (y) = x - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 \arctan (y) = x - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $\arctan (y)$ por $1$ .

$\arctan (y) = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arctan (y) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ es la inversa de $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x) - 1}{2})$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $1 + 2 \arctan (x) - 1$ .

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Paso 4.2.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x) + 0}{2})$

Paso 4.2.4.2

Suma $2 \arctan (x)$ y $0$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

Paso 4.2.5.2

Divide $\arctan (x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Paso 4.2.6

Las funciones tangente y arcotangente son inversas.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})) = 1 + 2 \arctan (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ es la inversa de $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$