Trigonometría Ejemplos

$y = \sqrt{x} - 3$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{y} - 3$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $\sqrt{y} - 3 = x$ .

$\sqrt{y} - 3 = x$

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{y} = x + 3$

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Simplifica.

$y = {(x + 3)}^{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica ${(x + 3)}^{2}$ .

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Reescribe ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$y = (x + 3) (x + 3)$

Expande $(x + 3) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$y = x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$y = x^{2} + 6 x + 9$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x} - 3$ .

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Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{x} - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {(\sqrt{x} - 3)}^{2} + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Simplifica cada término.

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Reescribe ${(\sqrt{x} - 3)}^{2}$ como $(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 3)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = (\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 3) + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Expande $(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) - 3 (\sqrt{x} - 3) + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 (\sqrt{x} - 3) + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + \sqrt{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Mueve $- 3$ a la izquierda de $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 3 \cdot \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} - 3 \cdot - 3 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 3 \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} + 9 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Resta $3 \sqrt{x}$ de $- 3 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 (\sqrt{x} - 3) + 9$

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot - 3 + 9$

Multiplica $6$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 \sqrt{x} - 18 + 9$

Simplifica mediante la adición de términos.

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Combina los términos opuestos en $x - 6 \sqrt{x} + 9 + 6 \sqrt{x} - 18 + 9$ .

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Suma $- 6 \sqrt{x}$ y $6 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + 0 + 9 - 18 + 9$

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + 9 - 18 + 9$

Resta $18$ de $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x - 9 + 9$

Combina los términos opuestos en $x - 9 + 9$ .

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Suma $- 9$ y $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x + 0$

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} - 3) = x$

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Evalúa $f (x^{2} + 6 x + 9)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 9} - 3$

Elimina los paréntesis.

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 9} - 3$

Simplifica cada término.

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Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 3^{2}} - 3$

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Reescribe el polinomio.

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} - 3$

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = \sqrt{{(x + 3)}^{2}} - 3$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{2} + 6 x + 9) = x + 3 - 3$

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

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Resta $3$ de $3$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = x + 0$

Suma $x$ y $0$ .

$f (x^{2} + 6 x + 9) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 6 x + 9$