Trigonometría Ejemplos

$y = \sqrt{7 x + 4}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{7 y + 4}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{7 y + 4} = x$ .

$\sqrt{7 y + 4} = x$

Paso 2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{7 y + 4}}^{2} = x^{2}$

Paso 2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7 y + 4}$ como ${(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica ${({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(7 y + 4)}^{1} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Simplifica.

$7 y + 4 = x^{2}$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$7 y = x^{2} - 4$

Paso 2.4.2

Divide cada término en $7 y = x^{2} - 4$ por $7$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.1

Divide cada término en $7 y = x^{2} - 4$ por $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{x^{2}}{7} + \frac{- 4}{7}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 y}{7} = \frac{x^{2}}{7} + \frac{- 4}{7}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{7} + \frac{- 4}{7}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{7 x + 4}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(\sqrt{7 x + 4})}^{2}}{7} - \frac{4}{7}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(\sqrt{7 x + 4})}^{2} - 4}{7}$

Paso 4.2.4

Reescribe ${\sqrt{7 x + 4}}^{2}$ como $7 x + 4$ .

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Paso 4.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7 x + 4}$ como ${(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{({(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4}{7}$

Paso 4.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(7 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4}{7}$

Paso 4.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 4}{7}$

Paso 4.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 4}{7}$

Paso 4.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{(7 x + 4) - 4}{7}$

Paso 4.2.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{7 x + 4 - 4}{7}$

Paso 4.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.5.1

Combina los términos opuestos en $7 x + 4 - 4$ .

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Paso 4.2.5.1.1

Resta $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{7 x + 0}{7}$

Paso 4.2.5.1.2

Suma $7 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{7 x}{7}$

Paso 4.2.5.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{7 x}{7}$

Paso 4.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) + 4}$

Paso 4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7}) + 7 (- \frac{4}{7}) + 4}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7}) + 7 (- \frac{4}{7}) + 4}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} + 7 (- \frac{4}{7}) + 4}$

Paso 4.3.5

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{7}$ al numerador.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} + 7 (\frac{- 4}{7}) + 4}$

Paso 4.3.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} + 7 (\frac{- 4}{7}) + 4}$

Paso 4.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} - 4 + 4}$

Paso 4.3.6

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.3.6.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Paso 4.3.6.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 4.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$