Trigonometría Ejemplos

$y = \csc (3 x) - 1$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \csc (3 y) - 1$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\csc (3 y) - 1 = x$ .

$\csc (3 y) - 1 = x$

Paso 2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\csc (3 y) = x + 1$

Paso 2.3

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la cosecante.

$3 y = arccsc (x + 1)$

Paso 2.4

Divide cada término en $3 y = arccsc (x + 1)$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $3 y = arccsc (x + 1)$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$ es la inversa de $f (x) = \csc (3 x) - 1$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\csc (3 x) - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc ((\csc (3 x) - 1) + 1)}{3}$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $\csc (3 x) - 1 + 1$ .

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Paso 4.2.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc (\csc (3 x) + 0)}{3}$

Paso 4.2.3.2

Suma $\csc (3 x)$ y $0$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc (\csc (3 x))}{3}$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{arccsc (x + 1)}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (3 (\frac{arccsc (x + 1)}{3})) - 1$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (3 (\frac{arccsc (x + 1)}{3})) - 1$

Paso 4.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (arccsc (x + 1)) - 1$

Paso 4.3.3.2

Las funciones cosecante y arcosecante son inversas.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x + 1 - 1$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

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Paso 4.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$ es la inversa de $f (x) = \csc (3 x) - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$