Trigonometría Ejemplos

$y = \arcsin (5 - 3 x^{2})$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \arcsin (5 - 3 y^{2})$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$ .

$\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$

Paso 2.2

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del arcoseno.

$5 - 3 y^{2} = \sin (x)$

Paso 2.3

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$

Paso 2.4

Divide cada término en $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{- 5}{- 3}$

Paso 2.4.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 2.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ es la inversa de $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

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Paso 4.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ y $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ y compáralos.

Paso 4.2

Obtén el rango de $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

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Paso 4.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Paso 4.3

Obtén el dominio de $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ .

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Paso 4.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3} \geq 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $x$

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Paso 4.3.2.1

Resta $\frac{5}{3}$ de ambos lados de la desigualdad.

$- \frac{\sin (x)}{3} \geq - \frac{5}{3}$

Paso 4.3.2.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$- \sin (x) \geq - 5$

Paso 4.3.2.3

Divide cada término en $- \sin (x) \geq - 5$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.3.1

Divide cada término de $- \sin (x) \geq - 5$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- \sin (x)}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Paso 4.3.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Paso 4.3.2.3.2.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) \leq \frac{- 5}{- 1}$

Paso 4.3.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.3.1

Divide $- 5$ por $- 1$ .

$\sin (x) \leq 5$

Paso 4.3.2.4

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $5$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 4.3.3

El dominio son todos números reales.

$(- \infty, \infty)$

Paso 4.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ no es igual al rango de $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ no es una inversa de $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

No hay una inversa

Paso 5