Trigonometría Ejemplos

$y = 4 x^{2} - 1$

Step 1

Intercambia las variables.

$x = 4 y^{2} - 1$

Step 2

Resuelve $y$

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Reescribe la ecuación como $4 y^{2} - 1 = x$ .

$4 y^{2} - 1 = x$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y^{2} = x + 1$

Divide cada término en $4 y^{2} = x + 1$ por $4$ y simplifica.

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Divide cada término en $4 y^{2} = x + 1$ por $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{1}{4}}$

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{1}{4}}$ .

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Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{4}}$

Reescribe $\frac{x + 1}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (x + 1)$ .

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Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $x + 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x + 1)}{4}}$

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x + 1)}{2^{2} \cdot 1}}$

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (x + 1)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x + 1)}$

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x + 1}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{x + 1}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

Step 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 4 x^{2} - 1$ .

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El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = 4 x^{2} - 1$ y $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ y compáralos.

Obtén el rango de $f (x) = 4 x^{2} - 1$ .

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El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 1, \infty)$

Obtén el dominio de $\frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ .

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Establece el radicando en $\sqrt{x + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 1 \geq 0$

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 1$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 1, \infty)$

Obtén el dominio de $f (x) = 4 x^{2} - 1$ .

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El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ es el rango de $f (x) = 4 x^{2} - 1$ y el rango de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ es el dominio de $f (x) = 4 x^{2} - 1$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 4 x^{2} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{x + 1}}{2}$

Step 5