Trigonometría Ejemplos

$y x + 3 y - 5 x = 0$

Paso 1

Suma $5 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x + 3 y = 5 x$

Paso 2

Factoriza $y$ de $y x + 3 y$ .

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Paso 2.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) + 3 y = 5 x$

Paso 2.2

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$y (x) + y \cdot 3 = 5 x$

Paso 2.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot 3$ .

$y (x + 3) = 5 x$

Paso 3

Divide cada término en $y (x + 3) = 5 x$ por $x + 3$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $y (x + 3) = 5 x$ por $x + 3$ .

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{5 x}{x + 3}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{5 x}{x + 3}$

Paso 3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 x}{x + 3}$

Paso 4

Intercambia las variables.

$x = \frac{5 y}{y + 3}$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{5 y}{y + 3} = x$ .

$\frac{5 y}{y + 3} = x$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y + 3, 1$

Paso 5.2.2

Elimina los paréntesis.

$y + 3, 1$

Paso 5.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y + 3$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $\frac{5 y}{y + 3} = x$ por $y + 3$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{5 y}{y + 3} = x$ por $y + 3$ .

$\frac{5 y}{y + 3} (y + 3) = x (y + 3)$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $y + 3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{y + 3} (y + 3) = x (y + 3)$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$5 y = x (y + 3)$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 y = x y + x \cdot 3$

Paso 5.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$5 y = x y + 3 x$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y - x y = 3 x$

Paso 5.4.2

Factoriza $y$ de $5 y - x y$ .

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $y$ de $5 y$ .

$y \cdot 5 - x y = 3 x$

Paso 5.4.2.2

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 5 + y (- x) = 3 x$

Paso 5.4.2.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 5 + y (- x)$ .

$y (5 - x) = 3 x$

Paso 5.4.3

Divide cada término en $y (5 - x) = 3 x$ por $5 - x$ y simplifica.

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Paso 5.4.3.1

Divide cada término en $y (5 - x) = 3 x$ por $5 - x$ .

$\frac{y (5 - x)}{5 - x} = \frac{3 x}{5 - x}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.3.2.1

Cancela el factor común de $5 - x$ .

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Paso 5.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (5 - x)}{5 - x} = \frac{3 x}{5 - x}$

Paso 5.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 x}{5 - x}$

Paso 6

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{5 - x}$

Paso 7

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{5 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{5 x}{x + 3}$ .

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Paso 7.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 7.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 7.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 7.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{3 (\frac{5 x}{x + 3})}{5 - (\frac{5 x}{x + 3})}$

Paso 7.2.3

Combina $3$ y $\frac{5 x}{x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{x + 3}}{5 - \frac{5 x}{x + 3}}$

Paso 7.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.4.1

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{x + 3}}{\frac{5 (x + 3)}{x + 3} - \frac{5 x}{x + 3}}$

Paso 7.2.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{x + 3}}{\frac{5 (x + 3) - 5 x}{x + 3}}$

Paso 7.2.4.3

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{x + 3}}{\frac{- 5 x + 5 (x + 3)}{x + 3}}$

Paso 7.2.4.4

Reescribe $\frac{- 5 x + 5 (x + 3)}{x + 3}$ en forma factorizada.

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Paso 7.2.4.4.1

Factoriza $5$ de $- 5 x + 5 (x + 3)$ .

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Paso 7.2.4.4.1.1

Factoriza $5$ de $- 5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{x + 3}}{\frac{5 (- x) + 5 (x + 3)}{x + 3}}$

Paso 7.2.4.4.1.2

Factoriza $5$ de $5 (- x) + 5 (x + 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{x + 3}}{\frac{5 (- x + x + 3)}{x + 3}}$

Paso 7.2.4.4.2

Suma $- x$ y $x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{x + 3}}{\frac{5 (0 + 3)}{x + 3}}$

Paso 7.2.4.4.3

Suma $0$ y $3$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{x + 3}}{\frac{5 \cdot 3}{x + 3}}$

Paso 7.2.4.5

Multiplica $5$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{\frac{3 (5 x)}{x + 3}}{\frac{15}{x + 3}}$

Paso 7.2.5

Multiplica $3$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{\frac{15 x}{x + 3}}{\frac{15}{x + 3}}$

Paso 7.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{15 x}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{15}$

Paso 7.2.7

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 7.2.7.1

Factoriza $15$ de $15 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{15 (x)}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{15}$

Paso 7.2.7.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{15 x}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{15}$

Paso 7.2.7.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{x}{x + 3} \cdot (x + 3)$

Paso 7.2.8

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 7.2.8.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = \frac{x}{x + 3} \cdot (x + 3)$

Paso 7.2.8.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 3}) = x$

Paso 7.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 7.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 7.3.2

Evalúa $f (\frac{3 x}{5 - x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{5 (\frac{3 x}{5 - x})}{(\frac{3 x}{5 - x}) + 3}$

Paso 7.3.3

Combina $5$ y $\frac{3 x}{5 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{5 - x}}{\frac{3 x}{5 - x} + 3}$

Paso 7.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 7.3.4.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5 - x}{5 - x}$ .

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{5 - x}}{\frac{3 x}{5 - x} + \frac{3 (5 - x)}{5 - x}}$

Paso 7.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{5 - x}}{\frac{3 x + 3 (5 - x)}{5 - x}}$

Paso 7.3.4.3

Reordena los términos.

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{5 - x}}{\frac{3 x + 3 (5 - x)}{- x + 5}}$

Paso 7.3.4.4

Reescribe $\frac{3 x + 3 (5 - x)}{- x + 5}$ en forma factorizada.

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Paso 7.3.4.4.1

Factoriza $3$ de $3 x + 3 (5 - x)$ .

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Paso 7.3.4.4.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{5 - x}}{\frac{3 (x) + 3 (5 - x)}{- x + 5}}$

Paso 7.3.4.4.1.2

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (5 - x)$ .

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{5 - x}}{\frac{3 (x + 5 - x)}{- x + 5}}$

Paso 7.3.4.4.2

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{5 - x}}{\frac{3 (0 + 5)}{- x + 5}}$

Paso 7.3.4.4.3

Suma $0$ y $5$ .

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{5 - x}}{\frac{3 \cdot 5}{- x + 5}}$

Paso 7.3.4.5

Multiplica $3$ por $5$ .

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (3 x)}{5 - x}}{\frac{15}{- x + 5}}$

Paso 7.3.5

Multiplica $5$ por $3$ .

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{\frac{15 x}{5 - x}}{\frac{15}{- x + 5}}$

Paso 7.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{15 x}{5 - x} \cdot \frac{- x + 5}{15}$

Paso 7.3.7

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 7.3.7.1

Factoriza $15$ de $15 x$ .

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{15 (x)}{5 - x} \cdot \frac{- x + 5}{15}$

Paso 7.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{15 x}{5 - x} \cdot \frac{- x + 5}{15}$

Paso 7.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{x}{5 - x} \cdot (- x + 5)$

Paso 7.3.8

Multiplica $\frac{x}{5 - x}$ por $- x + 5$ .

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{x (- x + 5)}{5 - x}$

Paso 7.3.9

Cancela el factor común de $- x + 5$ y $5 - x$ .

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Paso 7.3.9.1

Reordena los términos.

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{x (- x + 5)}{- x + 5}$

Paso 7.3.9.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = \frac{x (- x + 5)}{- x + 5}$

Paso 7.3.9.3

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{3 x}{5 - x}) = x$

Paso 7.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{5 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{5 x}{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{5 - x}$