Trigonometría Ejemplos

$y - 1 = \tan^{2} (x)$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \tan^{2} (x) + 1$

Paso 1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$y = \sec^{2} (x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sec^{2} (y)$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sec^{2} (y) = x$ .

$\sec^{2} (y) = x$

Paso 3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sec (y) = \pm \sqrt{x}$

Paso 3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sec (y) = \sqrt{x}$

Paso 3.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sec (y) = - \sqrt{x}$

Paso 3.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sec (y) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

Paso 3.4

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $y$ .

$\sec (y) = \sqrt{x}$

$\sec (y) = - \sqrt{x}$

Paso 3.5

Resuelve $y$ en $\sec (y) = \sqrt{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la secante.

$y = arcsec (\sqrt{x})$

Paso 3.6

Resuelve $y$ en $\sec (y) = - \sqrt{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la secante.

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$y = arcsec (\sqrt{x})$

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

$y = arcsec (\sqrt{x})$

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ es la inversa de $f (x) = \sec^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \sec^{2} (x)$ y $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = \sec^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[1, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $arcsec (\sqrt{x})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 5.3.2

Establece el argumento en $arcsec (\sqrt{x})$ menor o igual que $- 1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sqrt{x} \leq - 1$

Paso 5.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x \leq {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x \leq 1$

Paso 5.3.3.3

Obtén el dominio de $\sqrt{x} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 5.3.3.3.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 5.3.3.4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Paso 5.3.3.5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 5.3.3.5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\sqrt{- 2} \leq - 1$

Paso 5.3.3.5.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.3.3.5.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.5.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 5.3.3.5.2.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$\sqrt{0.5} \leq - 1$

Paso 5.3.3.5.2.3

$0.70710678$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.3.3.5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 5.3.3.5.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\sqrt{4} \leq - 1$

Paso 5.3.3.5.3.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.3.3.5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

Paso 5.3.3.6

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución

Paso 5.3.4

Establece el argumento en $arcsec (\sqrt{x})$ mayor o igual que $1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sqrt{x} \geq 1$

Paso 5.3.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x}}^{2} \geq 1^{2}$

Paso 5.3.5.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Paso 5.3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Paso 5.3.5.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Paso 5.3.5.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} \geq 1^{2}$

Paso 5.3.5.2.2.1.2

Simplifica.

$x \geq 1^{2}$

Paso 5.3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x \geq 1$

Paso 5.3.5.3

Obtén el dominio de $\sqrt{x} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 5.3.5.3.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 5.3.5.4

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \geq 1$

Paso 5.3.6

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 5.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ no es igual al rango de $f (x) = \sec^{2} (x)$ , entonces $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ no es una inversa de $f (x) = \sec^{2} (x)$ .

No hay una inversa

Paso 6