Trigonometría Ejemplos

y - 1 = \tan^{2} (x)

$y - 1 = \tan^{2} (x)$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan

y

$y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Suma

1

$1$ a ambos lados de la ecuación.

y = \tan^{2} (x) + 1

$y = \tan^{2} (x) + 1$

Paso 1.2

Aplica la identidad pitagórica.

y = \sec^{2} (x)

$y = \sec^{2} (x)$

y = \sec^{2} (x)

$y = \sec^{2} (x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

x = \sec^{2} (y)

$x = \sec^{2} (y)$

Paso 3

Resuelve

y

$y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como

\sec^{2} (y) = x

$\sec^{2} (y) = x$ .

\sec^{2} (y) = x

$\sec^{2} (y) = x$

Paso 3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

\sec (y) = \pm \sqrt{x}

$\sec (y) = \pm \sqrt{x}$

Paso 3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Primero, usa el valor positivo de

\pm

$\pm$ para obtener la primera solución.

\sec (y) = \sqrt{x}

$\sec (y) = \sqrt{x}$

Paso 3.3.2

Luego, usa el valor negativo de

\pm

$\pm$ para obtener la segunda solución.

\sec (y) = - \sqrt{x}

$\sec (y) = - \sqrt{x}$

Paso 3.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

\sec (y) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}

$\sec (y) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

\sec (y) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}

$\sec (y) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

Paso 3.4

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de

y

$y$ .

\sec (y) = \sqrt{x}

$\sec (y) = \sqrt{x}$

\sec (y) = - \sqrt{x}

$\sec (y) = - \sqrt{x}$

Paso 3.5

Resuelve

y

$y$ en

\sec (y) = \sqrt{x}

$\sec (y) = \sqrt{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer

y

$y$ del interior de la secante.

y = arcsec (\sqrt{x})

$y = arcsec (\sqrt{x})$

y = arcsec (\sqrt{x})

$y = arcsec (\sqrt{x})$

Paso 3.6

Resuelve

y

$y$ en

\sec (y) = - \sqrt{x}

$\sec (y) = - \sqrt{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer

y

$y$ del interior de la secante.

y = arcsec (- \sqrt{x})

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

y = arcsec (- \sqrt{x})

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

y = arcsec (\sqrt{x})

$y = arcsec (\sqrt{x})$

y = arcsec (- \sqrt{x})

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

y = arcsec (\sqrt{x})

$y = arcsec (\sqrt{x})$

y = arcsec (- \sqrt{x})

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

Paso 4

Reemplaza

y

$y$ con

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$

Paso 5

Verifica si

f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ es la inversa de

f (x) = \sec^{2} (x)

$f (x) = \sec^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de

f (x) = \sec^{2} (x)

$f (x) = \sec^{2} (x)$ y

f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de

f (x) = \sec^{2} (x)

$f (x) = \sec^{2} (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores

y

$y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

[1, \infty)

$[1, \infty)$

[1, \infty)

$[1, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de

arcsec (\sqrt{x})

$arcsec (\sqrt{x})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece el radicando en

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ mayor o igual que

0

$0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

x \geq 0

$x \geq 0$

Paso 5.3.2

Establece el argumento en

arcsec (\sqrt{x})

$arcsec (\sqrt{x})$ menor o igual que

- 1

$- 1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

\sqrt{x} \leq - 1

$\sqrt{x} \leq - 1$

Paso 5.3.3

Resuelve

x

$x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

{\sqrt{x}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}

${\sqrt{x}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ como

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.1

Simplifica

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

x^{1} \leq {(- 1)}^{2}

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

x^{1} \leq {(- 1)}^{2}

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

x^{1} \leq {(- 1)}^{2}

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3.2.2.1.2

Simplifica.

x \leq {(- 1)}^{2}

$x \leq {(- 1)}^{2}$

x \leq {(- 1)}^{2}

$x \leq {(- 1)}^{2}$

x \leq {(- 1)}^{2}

$x \leq {(- 1)}^{2}$

Paso 5.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.3.1

Eleva

- 1

$- 1$ a la potencia de

2

$2$ .

x \leq 1

$x \leq 1$

x \leq 1

$x \leq 1$

x \leq 1

$x \leq 1$

Paso 5.3.3.3

Obtén el dominio de

\sqrt{x} + 1

$\sqrt{x} + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.3.1

Establece el radicando en

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ mayor o igual que

0

$0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

x \geq 0

$x \geq 0$

Paso 5.3.3.3.2

El dominio son todos los valores de

x

$x$ que hacen que la expresión sea definida.

[0, \infty)

$[0, \infty)$

[0, \infty)

$[0, \infty)$

Paso 5.3.3.4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

x < 0

$x < 0$

0 < x < 1

$0 < x < 1$

x > 1

$x > 1$

Paso 5.3.3.5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.5.1

Prueba un valor en el intervalo

x < 0

$x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.5.1.1

Elije un valor en el intervalo

x < 0

$x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

x = - 2

$x = - 2$

Paso 5.3.3.5.1.2

Reemplaza

x

$x$ con

- 2

$- 2$ en la desigualdad original.

\sqrt{- 2} \leq - 1

$\sqrt{- 2} \leq - 1$

Paso 5.3.3.5.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.3.3.5.2

Prueba un valor en el intervalo

0 < x < 1

$0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.5.2.1

Elije un valor en el intervalo

0 < x < 1

$0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

x = 0.5

$x = 0.5$

Paso 5.3.3.5.2.2

Reemplaza

x

$x$ con

0.5

$0.5$ en la desigualdad original.

\sqrt{0.5} \leq - 1

$\sqrt{0.5} \leq - 1$

Paso 5.3.3.5.2.3

0.70710678

$0.70710678$ del lado izquierdo es mayor que

- 1

$- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.3.3.5.3

Prueba un valor en el intervalo

x > 1

$x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.5.3.1

Elije un valor en el intervalo

x > 1

$x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

x = 4

$x = 4$

Paso 5.3.3.5.3.2

Reemplaza

x

$x$ con

4

$4$ en la desigualdad original.

\sqrt{4} \leq - 1

$\sqrt{4} \leq - 1$

Paso 5.3.3.5.3.3

2

$2$ del lado izquierdo es mayor que

- 1

$- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.3.3.5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

x < 0

$x < 0$ Falso

0 < x < 1

$0 < x < 1$ Falso

x > 1

$x > 1$ Falso

x < 0

$x < 0$ Falso

0 < x < 1

$0 < x < 1$ Falso

x > 1

$x > 1$ Falso

Paso 5.3.3.6

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución

Paso 5.3.4

Establece el argumento en

arcsec (\sqrt{x})

$arcsec (\sqrt{x})$ mayor o igual que

1

$1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

\sqrt{x} \geq 1

$\sqrt{x} \geq 1$

Paso 5.3.5

Resuelve

x

$x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

{\sqrt{x}}^{2} \geq 1^{2}

${\sqrt{x}}^{2} \geq 1^{2}$

Paso 5.3.5.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ como

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Paso 5.3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.2.1

Simplifica

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Paso 5.3.5.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Paso 5.3.5.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

x^{1} \geq 1^{2}

$x^{1} \geq 1^{2}$

x^{1} \geq 1^{2}

$x^{1} \geq 1^{2}$

x^{1} \geq 1^{2}

$x^{1} \geq 1^{2}$

Paso 5.3.5.2.2.1.2

Simplifica.

x \geq 1^{2}

$x \geq 1^{2}$

x \geq 1^{2}

$x \geq 1^{2}$

x \geq 1^{2}

$x \geq 1^{2}$

Paso 5.3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

x \geq 1

$x \geq 1$

x \geq 1

$x \geq 1$

x \geq 1

$x \geq 1$

Paso 5.3.5.3

Obtén el dominio de

\sqrt{x} - 1

$\sqrt{x} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.3.1

Establece el radicando en

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ mayor o igual que

0

$0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

x \geq 0

$x \geq 0$

Paso 5.3.5.3.2

El dominio son todos los valores de

x

$x$ que hacen que la expresión sea definida.

[0, \infty)

$[0, \infty)$

[0, \infty)

$[0, \infty)$

Paso 5.3.5.4

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

x \geq 1

$x \geq 1$

x \geq 1

$x \geq 1$

Paso 5.3.6

El dominio son todos los valores de

x

$x$ que hacen que la expresión sea definida.

[0, \infty)

$[0, \infty)$

[0, \infty)

$[0, \infty)$

Paso 5.4

Como el dominio de

f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ no es igual al rango de

f (x) = \sec^{2} (x)

$f (x) = \sec^{2} (x)$ , entonces

f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ no es una inversa de

f (x) = \sec^{2} (x)

$f (x) = \sec^{2} (x)$ .

No hay una inversa

Paso 6