Trigonometría Ejemplos

$\log_{8} (x^{2} - x) > \log_{8} (42)$

Step 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{8} (x^{2} - x) = \log_{8} (42)$

Step 2

Resuelve la ecuación.

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Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{2} - x = 42$

Resuelve $x$

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Resta $42$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x - 42 = 0$

Factoriza $x^{2} - x - 42$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 42$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 7, 6$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 7) (x + 6) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 6 = 0$

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 7) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = 7, - 6$

Step 3

Obtén el dominio de $\log_{8} (\frac{x (x - 1)}{42})$ .

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Establece el argumento en $\log_{8} (\frac{x (x - 1)}{42})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{x (x - 1)}{42} > 0$

Resuelve $x$

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Multiplica ambos lados por $42$ .

$\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42 > 0 \cdot 42$

Simplifica.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42$ .

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Simplifica los términos.

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Cancela el factor común de $42$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42 > 0 \cdot 42$

Reescribe la expresión.

$x (x - 1) > 0 \cdot 42$

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 > 0 \cdot 42$

Simplifica la expresión.

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Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 > 0 \cdot 42$

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x > 0 \cdot 42$

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x > 0 \cdot 42$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica $0$ por $42$ .

$x^{2} - x > 0$

Resuelve $x$

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Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - x = 0$

Factoriza $x$ de $x^{2} - x$ .

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Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Factoriza $x$ de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 2) ((- 2) - 1)}{42} > 0$

$0.\overline{142857}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$\frac{(0.5) ((0.5) - 1)}{42} > 0$

$- 0.00595238$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) ((4) - 1)}{42} > 0$

$0.\overline{285714}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$ o $x > 1$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

Step 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Step 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\log_{8} ({(- 8)}^{2} - (- 8)) > \log_{8} (42)$

$2.05664166$ del lado izquierdo es mayor que $1.79743914$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$\log_{8} ({(- 3)}^{2} - (- 3)) > \log_{8} (42)$

$1.1949875$ del lado izquierdo no es mayor que $1.79743914$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$\log_{8} ({(0.5)}^{2} - (0.5)) > \log_{8} (42)$

Determina si la desigualdad es verdadera.

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La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $1 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\log_{8} ({(4)}^{2} - (4)) > \log_{8} (42)$

$1.1949875$ del lado izquierdo no es mayor que $1.79743914$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\log_{8} ({(10)}^{2} - (10)) > \log_{8} (42)$

$2.16395103$ del lado izquierdo es mayor que $1.79743914$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadero

Step 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 6$ o $x > 7$

Step 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 6 or x > 7$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 6) \cup (7, \infty)$

Step 8