Trigonometría Ejemplos

$- 16 x^{2} + 32 x - 12 > 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 16 x^{2} + 32 x - 12 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $- 4$ de $- 16 x^{2} + 32 x - 12$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 16 x^{2}$ .

$- 4 (4 x^{2}) + 32 x - 12 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 4$ de $32 x$ .

$- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 12 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 12$ .

$- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 3 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $- 4$ de $- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 8 x)$ .

$- 4 (4 x^{2} - 8 x) - 4 \cdot 3 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $- 4$ de $- 4 (4 x^{2} - 8 x) - 4 (3)$ .

$- 4 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 x$ .

$- 4 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe $- 8$ como $- 2$ más $- 6$

$- 4 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

Paso 2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 4 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

Paso 2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- 4 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$- 4 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Paso 4

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 5

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 4 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- 16 {(0)}^{2} + 32 (0) - 12 > 0$

Paso 8.1.3

$- 12$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$- 16 {(1)}^{2} + 32 (1) - 12 > 0$

Paso 8.2.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$- 16 {(4)}^{2} + 32 (4) - 12 > 0$

Paso 8.3.3

$- 140$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ Verdadero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ Verdadero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$

Notación de intervalo:

$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Paso 11