Trigonometría Ejemplos

$\frac{4}{3 x} + \frac{7}{x} < \frac{5}{9}$

Paso 1

Simplifica $\frac{4}{3 x} + \frac{7}{x}$ .

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{7}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3 x} + \frac{7}{x} \cdot \frac{3}{3} < \frac{5}{9}$

Paso 1.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.1

Multiplica $\frac{7}{x}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3 x} + \frac{7 \cdot 3}{x \cdot 3} < \frac{5}{9}$

Paso 1.2.2

Reordena los factores de $x \cdot 3$ .

$\frac{4}{3 x} + \frac{7 \cdot 3}{3 x} < \frac{5}{9}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 + 7 \cdot 3}{3 x} < \frac{5}{9}$

Paso 1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1

Multiplica $7$ por $3$ .

$\frac{4 + 21}{3 x} < \frac{5}{9}$

Paso 1.4.2

Suma $4$ y $21$ .

$\frac{25}{3 x} < \frac{5}{9}$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $3 x$ .

$\frac{25}{3 x} (3 x) = \frac{5}{9} (3 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $\frac{25}{3 x} (3 x)$ .

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Paso 3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{25}{3 x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Paso 3.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$3 \frac{25}{3 (x)} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Paso 3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{25}{3 x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Paso 3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{25}{x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Paso 3.1.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{25}{x} x = \frac{5}{9} (3 x)$

Paso 3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$25 = \frac{5}{9} (3 x)$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\frac{5}{9} (3 x)$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$25 = \frac{5}{3 (3)} (3 x)$

Paso 3.2.1.1.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$25 = \frac{5}{3 (3)} (3 (x))$

Paso 3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$25 = \frac{5}{3 \cdot 3} (3 x)$

Paso 3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$25 = \frac{5}{3} x$

Paso 3.2.1.2

Combina $\frac{5}{3}$ y $x$ .

$25 = \frac{5 x}{3}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{5 x}{3} = 25$ .

$\frac{5 x}{3} = 25$

Paso 4.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} = \frac{3}{5} \cdot 25$

Paso 4.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.1.1

Simplifica $\frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3}$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} = \frac{3}{5} \cdot 25$

Paso 4.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{3}{5} \cdot 25$

Paso 4.3.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.1.1.2.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{3}{5} \cdot 25$

Paso 4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{3}{5} \cdot 25$

Paso 4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{5} \cdot 25$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica $\frac{3}{5} \cdot 25$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.2.1.1.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$x = \frac{3}{5} \cdot (5 (5))$

Paso 4.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3}{5} \cdot (5 \cdot 5)$

Paso 4.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$x = 3 \cdot 5$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$x = 15$

Paso 5

Obtén el dominio de $\frac{25}{3 x} - \frac{5}{9}$ .

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{25}{3 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 x = 0$

Paso 5.2

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x = 0$

Paso 5.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 15$

$x > 15$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{3 (- 2)} + \frac{7}{- 2} < \frac{5}{9}$

Paso 7.1.3

$- 4.1\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $0.\overline{5}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 15$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 15$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{3 (2)} + \frac{7}{2} < \frac{5}{9}$

Paso 7.2.3

$4.1\overline{6}$ del lado izquierdo no es menor que $0.\overline{5}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 15$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 15$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 18$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $18$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{3 (18)} + \frac{7}{18} < \frac{5}{9}$

Paso 7.3.3

$0.4\overline{629}$ del lado izquierdo es menor que $0.\overline{5}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 15$ Falso

$x > 15$ Verdadero

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 15$ Falso

$x > 15$ Verdadero

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$ o $x > 15$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < 0 or x > 15$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (15, \infty)$

Paso 10