Trigonometría Ejemplos

$\sin (x) + \sin (2 x) > 0$

Step 1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) > 0 = 0$

Step 2

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$

Step 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Step 4

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

Establece $1 + 2 \cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $1 + 2 \cos (x)$ igual a $0$ .

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Resuelve $1 + 2 \cos (x) = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = - 1$

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (x) (1 + 2 \cos (x)) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$0 < x < \frac{2 π}{3}$

$\frac{2 π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{4 π}{3}$

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$

Step 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{2 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{2 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\sin (1) + \sin (2 (1)) > 0$

$1.75076841$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $\frac{2 π}{3} < x < π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{2 π}{3} < x < π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\sin (3) + \sin (2 (3)) > 0$

$- 0.13829549$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $π < x < \frac{4 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $π < x < \frac{4 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\sin (4) + \sin (2 (4)) > 0$

$0.23255575$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\sin (5) + \sin (2 (5)) > 0$

$- 1.50294538$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $2 π < x < \frac{8 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 7$

Reemplaza $x$ con $7$ en la desigualdad original.

$\sin (7) + \sin (2 (7)) > 0$

$1.64759395$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ Verdadero

$\frac{2 π}{3} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{4 π}{3}$ Verdadero

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ Verdadero

$0 < x < \frac{2 π}{3}$ Verdadero

$\frac{2 π}{3} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{4 π}{3}$ Verdadero

$\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < \frac{8 π}{3}$ Verdadero

Step 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 + 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Step 11

Combina los intervalos.

$π + 2 π n < x < \frac{4 π}{3} + 2 π n or 2 π n < x < \frac{2 π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n < x < \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 12