Trigonometría Ejemplos

$\sin (x) + \sqrt{3} \cos (x) < 0$

Step 1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Step 2

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Step 3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} < \frac{0}{\cos (x)}$

Divide $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{\cos (x)}$

Step 4

Separa las fracciones.

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Step 5

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Step 6

Divide $0$ por $1$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < 0 \sec (x)$

Step 7

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} < 0$

Step 8

Resta $\sqrt{3}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\tan (x) < - \sqrt{3}$

Step 9

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x < \arctan (- \sqrt{3})$

Step 10

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arctan (- \sqrt{3})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$x < - \frac{π}{3}$

Step 11

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Step 12

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Suma $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Step 13

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Step 14

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Resta $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{2 π}{3}$

Step 15

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 16

Consolida las respuestas.

$x = \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 17

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

Step 18

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

Step 19

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución