Trigonometría Ejemplos

$\log (\frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}) < 2$

Step 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log (\frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}) = 2$

Step 2

Resuelve la ecuación.

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Reescribe $\log (\frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = \frac{5 (3 - 6 x)}{x - 2}$

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$5 (3 - 6 x) = 10^{2} (x - 2)$

Simplifica $10^{2} (x - 2)$ .

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Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$5 (3 - 6 x) = 100 (x - 2)$

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (3 - 6 x) = 100 x + 100 \cdot - 2$

Multiplica $100$ por $- 2$ .

$5 (3 - 6 x) = 100 x - 200$

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $100 x$ de ambos lados de la ecuación.

$5 (3 - 6 x) - 100 x = - 200$

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 3 + 5 (- 6 x) - 100 x = - 200$

Multiplica $5$ por $3$ .

$15 + 5 (- 6 x) - 100 x = - 200$

Multiplica $- 6$ por $5$ .

$15 - 30 x - 100 x = - 200$

Resta $100 x$ de $- 30 x$ .

$15 - 130 x = - 200$

Factoriza $5$ de $15 - 130 x$ .

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Factoriza $5$ de $15$ .

$5 (3) - 130 x = - 200$

Factoriza $5$ de $- 130 x$ .

$5 (3) + 5 (- 26 x) = - 200$

Factoriza $5$ de $5 (3) + 5 (- 26 x)$ .

$5 (3 - 26 x) = - 200$

Divide cada término en $5 (3 - 26 x) = - 200$ por $5$ y simplifica.

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Divide cada término en $5 (3 - 26 x) = - 200$ por $5$ .

$\frac{5 (3 - 26 x)}{5} = \frac{- 200}{5}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $5$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{5 (3 - 26 x)}{5} = \frac{- 200}{5}$

Divide $3 - 26 x$ por $1$ .

$3 - 26 x = \frac{- 200}{5}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $- 200$ por $5$ .

$3 - 26 x = - 40$

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 26 x = - 40 - 3$

Resta $3$ de $- 40$ .

$- 26 x = - 43$

Divide cada término en $- 26 x = - 43$ por $- 26$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 26 x = - 43$ por $- 26$ .

$\frac{- 26 x}{- 26} = \frac{- 43}{- 26}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 26$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{- 26 x}{- 26} = \frac{- 43}{- 26}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 43}{- 26}$

Simplifica el lado derecho.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{43}{26}$

Step 3

Obtén el dominio de $\log (\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}) - 2$ .

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Establece el argumento en $\log (\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2} > 0$

Resuelve $x$

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Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$1 - 2 x = 0$

$x - 2 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 1$

Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{1}{2}$

$x = 2$

Consolida las soluciones.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Obtén el dominio de $\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}$ .

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Establece el denominador en $\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{15 (1 - 2 \cdot 0)}{(0) - 2} > 0$

$- 7.5$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\frac{15 (1 - 2 \cdot 1)}{(1) - 2} > 0$

$15$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{15 (1 - 2 \cdot 4)}{(4) - 2} > 0$

$- 52.5$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1}{2} < x < 2$

Establece el denominador en $\frac{15 (1 - 2 x)}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(\frac{1}{2}, 2)$

Step 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$

$\frac{43}{26} < x < 2$

$x > 2$

Step 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 0)}{(0) - 2}) < 2$

Determina si la desigualdad es verdadera.

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La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 1)}{(1) - 2}) < 2$

$1.17609125$ del lado izquierdo es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $\frac{43}{26} < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Elije un valor en el intervalo $\frac{43}{26} < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.83$

Reemplaza $x$ con $1.83$ en la desigualdad original.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 1.83)}{(1.83) - 2}) < 2$

$2.37052397$ del lado izquierdo no es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\log (\frac{5 (3 - 6 \cdot 4)}{(4) - 2}) < 2$

Determina si la desigualdad es verdadera.

Toca para ver más pasos...

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ Verdadero

$\frac{43}{26} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$ Verdadero

$\frac{43}{26} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Falso

Step 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$

Step 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$\frac{1}{2} < x < \frac{43}{26}$

Notación de intervalo:

$(\frac{1}{2}, \frac{43}{26})$

Step 8