Trigonometría Ejemplos

$400000 < - 2 p^{2} + 6000 p$

Paso 1

Reescribe para que $p$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$- 2 p^{2} + 6000 p > 400000$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 2 p^{2} + 6000 p = 400000$

Paso 3

Resta $400000$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 p^{2} + 6000 p - 400000 = 0$

Paso 4

Factoriza $- 2$ de $- 2 p^{2} + 6000 p - 400000$ .

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Paso 4.1

Factoriza $- 2$ de $6000 p$ .

$- 2 p^{2} - 2 (- 3000 p) - 400000 = 0$

Paso 4.2

Factoriza $- 2$ de $- 400000$ .

$- 2 p^{2} - 2 (- 3000 p) - 2 \cdot 200000 = 0$

Paso 4.3

Factoriza $- 2$ de $- 2 (p^{2}) - 2 (- 3000 p)$ .

$- 2 (p^{2} - 3000 p) - 2 \cdot 200000 = 0$

Paso 4.4

Factoriza $- 2$ de $- 2 (p^{2} - 3000 p) - 2 (200000)$ .

$- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$

Paso 5

Divide cada término en $- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000) = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 (p^{2} - 3000 p + 200000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $p^{2} - 3000 p + 200000$ por $1$ .

$p^{2} - 3000 p + 200000 = \frac{0}{- 2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Divide $0$ por $- 2$ .

$p^{2} - 3000 p + 200000 = 0$

Paso 6

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 3000$ y $c = 200000$ en la fórmula cuadrática y resuelve $p$ .

$\frac{3000 \pm \sqrt{{(- 3000)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 200000)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $- 3000$ a la potencia de $2$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 4 \cdot 1 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 200000$ .

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 4 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $200000$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{9000000 - 800000}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.3

Resta $800000$ de $9000000$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{8200000}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.4

Reescribe $8200000$ como $200^{2} \cdot 205$ .

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Paso 8.1.4.1

Factoriza $40000$ de $8200000$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{40000 (205)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.4.2

Reescribe $40000$ como $200^{2}$ .

$p = \frac{3000 \pm \sqrt{200^{2} \cdot 205}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$p = \frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$p = \frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica $\frac{3000 \pm 200 \sqrt{205}}{2}$ .

$p = 1500 \pm 100 \sqrt{205}$

Paso 9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$p = 1500 + 100 \sqrt{205}, 1500 - 100 \sqrt{205}$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$p = 0$

Paso 11.1.2

Reemplaza $p$ con $0$ en la desigualdad original.

$400000 < - 2 {(0)}^{2} + 6000 (0)$

Paso 11.1.3

$400000$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$p = 71$

Paso 11.2.2

Reemplaza $p$ con $71$ en la desigualdad original.

$400000 < - 2 {(71)}^{2} + 6000 (71)$

Paso 11.2.3

$400000$ del lado izquierdo es menor que $415918$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$p = 2934$

Paso 11.3.2

Reemplaza $p$ con $2934$ en la desigualdad original.

$400000 < - 2 {(2934)}^{2} + 6000 (2934)$

Paso 11.3.3

$400000$ del lado izquierdo no es menor que $387288$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ Falso

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ Verdadero

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ Falso

$p < 1500 - 100 \sqrt{205}$ Falso

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$ Verdadero

$p > 1500 + 100 \sqrt{205}$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$1500 - 100 \sqrt{205} < p < 1500 + 100 \sqrt{205}$

Notación de intervalo:

$(1500 - 100 \sqrt{205}, 1500 + 100 \sqrt{205})$

Paso 14