Trigonometría Ejemplos

$4 x^{2} + 11 x - 3 < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$4 x^{2} + 11 x - 3 = 0$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ y cuya suma es $b = 11$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $11$ de $11 x$ .

$4 x^{2} + 11 (x) - 3 = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $11$ como $- 1$ más $12$

$4 x^{2} + (- 1 + 12) x - 3 = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 1 x + 12 x - 3 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 x^{2} - 1 x) + 12 x - 3 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (4 x - 1) + 3 (4 x - 1) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x + 3) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 4

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x - 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{4}, - 3$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$4 {(- 6)}^{2} + 11 (- 6) - 3 < 0$

Paso 8.1.3

$75$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < \frac{1}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < \frac{1}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$4 {(0)}^{2} + 11 (0) - 3 < 0$

Paso 8.2.3

$- 3$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$4 {(3)}^{2} + 11 (3) - 3 < 0$

Paso 8.3.3

$66$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < \frac{1}{4}$ Verdadero

$x > \frac{1}{4}$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < \frac{1}{4}$ Verdadero

$x > \frac{1}{4}$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 3 < x < \frac{1}{4}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 3 < x < \frac{1}{4}$

Notación de intervalo:

$(- 3, \frac{1}{4})$

Paso 11