Trigonometría Ejemplos

$2 x^{3} + x^{2} - 6 x < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{3} + x^{2} - 6 x = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $2 x^{3}$ .

$x (2 x^{2}) + x^{2} - 6 x = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x (2 x^{2}) + x \cdot x - 6 x = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $- 6 x$ .

$x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 6 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $x$ de $x (2 x^{2}) + x \cdot x$ .

$x (2 x^{2} + x) + x \cdot - 6 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $x$ de $x (2 x^{2} + x) + x \cdot - 6$ .

$x (2 x^{2} + x - 6) = 0$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$x (2 x^{2} + 1 x - 6) = 0$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 3$ más $4$

$x (2 x^{2} + (- 3 + 4) x - 6) = 0$

Paso 2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x^{2} - 3 x + 4 x - 6) = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x ((2 x^{2} - 3 x) + 4 x - 6) = 0$

Paso 2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (x (2 x - 3) + 2 (2 x - 3)) = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$x ((2 x - 3) (x + 2)) = 0$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (2 x - 3) (x + 2) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (2 x - 3) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{3}{2}, - 2$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$2 {(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{2} - 6 \cdot - 4 < 0$

Paso 9.1.3

$- 88$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 < 0$

Paso 9.2.3

$5$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$2 {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 < 0$

Paso 9.3.3

$- 3$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 9.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$2 {(4)}^{3} + {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 < 0$

Paso 9.4.3

$120$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{3}{2}$ Verdadero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{3}{2}$ Verdadero

$x > \frac{3}{2}$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $0 < x < \frac{3}{2}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 2 or 0 < x < \frac{3}{2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (0, \frac{3}{2})$

Paso 12