Trigonometría Ejemplos

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

Step 1

Resta $\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) - \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = 0$

Step 2

Simplifica $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) - \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$ .

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Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 x) - \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = 0$

Simplifica cada término.

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Reorganiza los términos.

$\cos (2 x) - \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1} = 0$

Aplica la identidad pitagórica.

$\cos (2 x) - \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = 0$

Simplifica el numerador.

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Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\cos (2 x) - \frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = 0$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \tan (x)$ .

$\cos (2 x) - \frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} = 0$

Simplifica.

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Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (2 x) - \frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} = 0$

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (2 x) - \frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sec^{2} (x)} = 0$

Simplifica el denominador.

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Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (2 x) - \frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}} = 0$

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\cos (2 x) - \frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}} = 0$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\cos (2 x) - \frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}} = 0$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\cos (2 x) - ((1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Expande $(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (2 x) - ((1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (2 x) - ((1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (2 x) - ((1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)) = 0$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1$ por $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)) = 0$

Multiplica $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)) = 0$

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)) = 0$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Multiplica $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (x)) = 0$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Suma $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ y $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos (2 x) - ((1 + 0 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Suma $1$ y $0$ .

$\cos (2 x) - ((1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (2 x) - (1 \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)) = 0$

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) - (\cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)) = 0$

Cancela el factor común de $\cos^{2} (x)$ .

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Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ al numerador.

$\cos (2 x) - (\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)) = 0$

Cancela el factor común.

$\cos (2 x) - (\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)) = 0$

Reescribe la expresión.

$\cos (2 x) - (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 x) - \cos (2 x) = 0$

Resta $\cos (2 x)$ de $\cos (2 x)$ .

$0 = 0$

Step 3

Como $0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera para cualquier valor de $x$ .

Todos los números reales

Step 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Todos los números reales

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$