Trigonometría Ejemplos

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Step 1

Reemplaza $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Step 2

Reordena el polinomio.

$- \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

Step 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $- \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1$ .

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Simplifica la expresión.

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Mueve $1$ .

$- \cos^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Reordena $- \cos^{2} (x)$ y $1$ .

$1 - \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Aplica la identidad pitagórica.

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Simplifica cada término.

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Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x)$

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

Convierte de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ a $\tan^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Step 4

Reemplaza $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Step 5

Reordena el polinomio.

$- \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

Step 6

Simplifica $- \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) + 1$ .

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Simplifica la expresión.

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Mueve $1$ .

$- \cos^{2} (x) + 1 + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Reordena $- \cos^{2} (x)$ y $1$ .

$1 - \cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Aplica la identidad pitagórica.

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Simplifica cada término.

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Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x)$

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

Convierte de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ a $\tan^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Step 7

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $\sec^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) = 0$

Reordena $\tan^{2} (x)$ y $- \sec^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) = 0$

Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = 0$

Factoriza $- 1$ de $\tan^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)) = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$\sin^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) = 0$

Aplica la identidad pitagórica.

$\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

Reordena $\sin^{2} (x)$ y $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (x) = 0$

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) = 0$

Factoriza $- 1$ de $\sin^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Reescribe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ como $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$- (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Aplica la identidad pitagórica.

$- \cos^{2} (x) = 0$

Step 8

Divide cada término en $- \cos^{2} (x) = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Divide cada término en $- \cos^{2} (x) = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Simplifica el lado izquierdo.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Divide $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{0}{- 1}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Step 9

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Step 10

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (x) = \pm 0$

Más o menos $0$ es $0$ .

$\cos (x) = 0$

Step 11

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Step 12

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Step 13

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Step 14

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Step 15

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Step 16

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 17

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$