Trigonometría Ejemplos

$\sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \cos (x)$

Step 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}^{2} = \cos^{2} (x)$

Step 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}$ como ${(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \cos^{2} (x)$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica ${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la identidad pitagórica.

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \cos^{2} (x)$

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Multiplica los exponentes en ${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cos^{2} (x)$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cos^{2} (x)$

Reescribe la expresión.

${(\cos^{2} (x))}^{1} = \cos^{2} (x)$

Multiplica los exponentes en ${(\cos^{2} (x))}^{1}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (x)}^{2 \cdot 1} = \cos^{2} (x)$

Multiplica $2$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Step 3

Resuelve $x$

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Como los exponentes son iguales, las bases de los exponentes en ambos lados de la ecuación deben ser iguales.

$| \cos (x) | = | \cos (x) |$

Resuelve $x$

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Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

$- \cos (x) = \cos (x)$

$- \cos (x) = - \cos (x)$

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

Resuelve $\cos (x) = \cos (x)$ en $x$ .

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Para que las dos funciones sean iguales, los argumentos de cada una deben ser iguales.

$x = x$

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x - x = 0$

Resta $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Como $0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera.

Todos los números reales

Resuelve $\cos (x) = - \cos (x)$ en $x$ .

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Mueve todos los términos que contengan $\cos (x)$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Suma $\cos (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) + \cos (x) = 0$

Suma $\cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) = 0$

Divide cada término en $2 \cos (x) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \cos (x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $2$ .

$\cos (x) = 0$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$