Trigonometría Ejemplos

$\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica cada término.

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Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Reordena $\cos (x)$ y $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Reescribe $\cos (x) \tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Cancela los factores comunes.

$\sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Step 2

Simplifica el lado derecho.

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Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Step 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Step 4

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Step 5

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Step 6

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Reescribe la expresión.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Step 7

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Reescribe la expresión.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

Step 8

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Step 9

Simplifica $\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1$ .

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Mueve $- 1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) = 0$

Reordena $\sin^{2} (x)$ y $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Factoriza $- 1$ de $\sin^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Reescribe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ como $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Aplica la identidad pitagórica.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Step 10

Resuelve $x$

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Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \cos (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (x)$ .

$- u^{2} + u = 0$

Factoriza $u$ de $- u^{2} + u$ .

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Factoriza $u$ de $- u^{2}$ .

$u (- u) + u = 0$

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$u (- u) + u = 0$

Factoriza $u$ de $u^{1}$ .

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

Factoriza $u$ de $u (- u) + u \cdot 1$ .

$u (- u + 1) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \cos (x) + 1 = 0$

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Establece $- \cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $- \cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Resuelve $- \cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \cos (x) = - 1$

Divide cada término en $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Divide cada término en $- \cos (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Simplifica el lado izquierdo.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

La solución final comprende todos los valores que hacen $\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 11

Consolida las respuestas.

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Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $2 π n$ y $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 12

Excluye las soluciones que no hagan que $\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$ sea verdadera.

$x = 1.57079632, 4.71238898, 6.2831853, 7.85398163, 10.99557428, 12.56637061, 14.13716694, 17.27875959, 18.84955592, 20.42035224, 23.5619449, 25.13274122, 31.41592653, 37.69911184, 43.98229715$ , para cualquier número entero $n$