Trigonometría Ejemplos

$\csc (x) - 1 = \frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1}$

Step 1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1} + 1 = \csc (x)$

Step 2

Reemplaza $\cot^{2} (x)$ con $\csc^{2} (x) - 1$ según la identidad de $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 1 = \csc (x)$

Step 3

Combina los términos opuestos en $\csc^{2} (x) - 1 + 1$ .

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Suma $- 1$ y $1$ .

$\csc^{2} (x) + 0 = \csc (x)$

Suma $\csc^{2} (x)$ y $0$ .

$\csc^{2} (x) = \csc (x)$

Step 4

Sustituye $u$ por $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} = u$

Step 5

Resta $u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - u = 0$

Step 6

Factoriza $u$ de $u^{2} - u$ .

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Factoriza $u$ de $u^{2}$ .

$u \cdot u - u = 0$

Factoriza $u$ de $- u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

Factoriza $u$ de $u \cdot u + u \cdot - 1$ .

$u (u - 1) = 0$

Step 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$u - 1 = 0$

Step 8

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

Step 9

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Step 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $u (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = 0, 1$

Step 11

Sustituye $\csc (x)$ por $u$ .

$\csc (x) = 0, 1$

Step 12

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\csc (x) = 0$

$\csc (x) = 1$

Step 13

Resuelve $x$ en $\csc (x) = 0$ .

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El rango de la cosecante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no se encuentra en este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 14

Resuelve $x$ en $\csc (x) = 1$ .

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Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccsc (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 15

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$