Trigonometría Ejemplos

$y = \frac{1}{1 - \sin (x)}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{1 - \sin (y)}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ .

$\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1 - \sin (y), 1$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$1 - \sin (y), 1$

Paso 2.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$1 - \sin (y)$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ por $1 - \sin (y)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ por $1 - \sin (y)$ .

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $1 - \sin (y)$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = x (1 - \sin (y))$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = x \cdot 1 + x (- \sin (y))$

Paso 2.3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 = x + x (- \sin (y))$

Paso 2.3.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = x - x \sin (y)$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Reescribe la ecuación como $x - x \sin (y) = 1$ .

$x - x \sin (y) = 1$

Paso 2.4.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- x \sin (y) = 1 - x$

Paso 2.4.3

Divide cada término en $- x \sin (y) = 1 - x$ por $- x$ y simplifica.

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Paso 2.4.3.1

Divide cada término en $- x \sin (y) = 1 - x$ por $- x$ .

$\frac{- x \sin (y)}{- x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 2.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 2.4.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.4.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 2.4.3.2.2.2

Divide $\sin (y)$ por $1$ .

$\sin (y) = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 2.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.3.3.1.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.4.3.3.1.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\sin (y) = \frac{- 1 (- 1)}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 2.4.3.3.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 2.4.3.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 2.4.3.3.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.4.3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 2.4.3.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + 1$

Paso 2.5

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$y = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- \frac{1}{\frac{1}{1 - \sin (x)}} + 1)$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 (1 - \sin (x))) + 1)$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $1 - \sin (x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 - \sin (x)) + 1)$

Paso 4.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 \cdot 1 + \sin (x) + 1)$

Paso 4.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

Paso 4.2.3.5

Multiplica $- - \sin (x)$ .

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Paso 4.2.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + 1 \sin (x) + 1)$

Paso 4.2.3.5.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $- 1 + \sin (x) + 1$ .

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Paso 4.2.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (0 + \sin (x))$

Paso 4.2.4.2

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (\sin (x))$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - \sin (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))}$

Paso 4.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.3.1

Las funciones seno y arcoseno son inversas.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{x} + 1)}$

Paso 4.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

Paso 4.3.3.3

Multiplica $- - \frac{1}{x}$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{x}) - 1 \cdot 1}$

Paso 4.3.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

Paso 4.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1}$

Paso 4.3.3.5

Resta $1$ de $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Paso 4.3.3.6

Suma $\frac{1}{x}$ y $0$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Paso 4.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = 1 x$

Paso 4.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$