Trigonometría Ejemplos

$x = y^{2} - 8 y$

Step 1

Reescribe la ecuación como $y^{2} - 8 y = x$ .

$y^{2} - 8 y = x$

Step 2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 8 y - x = 0$

Step 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Step 4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 8$ y $c = - x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Step 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Factoriza $4$ de $64 + 4 x$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $4$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Factoriza $4$ de $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $4 (16 + x)$ como $2^{2} (4^{2} + x)$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Step 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Factoriza $4$ de $64 + 4 x$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $4$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Factoriza $4$ de $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $4 (16 + x)$ como $2^{2} (4^{2} + x)$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = 4 + \sqrt{16 + x}$

Step 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Factoriza $4$ de $64 + 4 x$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $4$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Factoriza $4$ de $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $4 (16 + x)$ como $2^{2} (4^{2} + x)$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = 4 - \sqrt{16 + x}$

Step 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = 4 - \sqrt{16 + x}$

Step 9

Intercambia las variables. Crea una ecuación para cada expresión.

$x = 4 + \sqrt{16 + y}, x = 4 - \sqrt{16 + y}$

Step 10

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Reescribe la ecuación como $4 + \sqrt{16 + y} = x$ .

$4 + \sqrt{16 + y} = x$

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{16 + y} = x - 4$

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{16 + y}}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{16 + y}$ como ${(16 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Simplifica ${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica los exponentes en ${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

${(16 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Reescribe la expresión.

${(16 + y)}^{1} = {(x - 4)}^{2}$

Simplifica.

$16 + y = {(x - 4)}^{2}$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Simplifica ${(x - 4)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Reescribe ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$16 + y = (x - 4) (x - 4)$

Expande $(x - 4) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Aplica la propiedad distributiva.

$16 + y = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

Aplica la propiedad distributiva.

$16 + y = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

Aplica la propiedad distributiva.

$16 + y = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $x$ por $x$ .

$16 + y = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$16 + y = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$16 + y = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$16 + y = x^{2} - 8 x + 16$

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{2} - 8 x + 16 - 16$

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 8 x + 16 - 16$ .

Toca para ver más pasos...

Resta $16$ de $16$ .

$y = x^{2} - 8 x + 0$

Suma $x^{2} - 8 x$ y $0$ .

$y = x^{2} - 8 x$

Step 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$

Step 12

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ es la inversa de $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ .

Toca para ver más pasos...

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ y $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ y compáralos.

Obtén el rango de $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ .

Toca para ver más pasos...

Obtén el rango de $4 + \sqrt{16 + x}$ .

Toca para ver más pasos...

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[4, \infty)$

Obtén el rango de $4 - \sqrt{16 + x}$ .

Toca para ver más pasos...

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 4]$

Toca para ver más pasos...

La unión consiste en todos los elementos contenidos en cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Obtén el dominio de $4 + \sqrt{16 + x}$ .

Toca para ver más pasos...

Establece el radicando en $\sqrt{16 + x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$16 + x \geq 0$

Resta $16$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 16$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- 16, \infty)$

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ es el rango de $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ y el rango de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ es el dominio de $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ es la inversa de $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$

Step 13