Trigonometría Ejemplos

$f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ como una ecuación.

$y = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$ .

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados por $20 e^{y} + 15$ .

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $20 e^{y} + 15$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

Paso 3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y} + 15)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $x (20 e^{y} + 15)$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y}) + x \cdot 15$

Paso 3.3.2.1.2

Reordena.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + x \cdot 15$

Paso 3.3.2.1.2.2

Mueve $15$ a la izquierda de $x$ .

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + 15 x$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $20 x e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 e^{y} - 8 - 20 x e^{y} = 15 x$

Paso 3.4.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$3 e^{y} - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

Paso 3.4.3

Factoriza $e^{y}$ de $3 e^{y} - 20 x e^{y}$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $e^{y}$ de $3 e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 3 - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $e^{y}$ de $- 20 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x) = 15 x + 8$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $e^{y}$ de $e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x)$ .

$e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ por $3 - 20 x$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ por $3 - 20 x$ .

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $3 - 20 x$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{y} = \frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$

Paso 3.4.5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Paso 3.4.6

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.6.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Paso 3.4.6.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Paso 3.4.6.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ es la inversa de $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Paso 5.2.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $5$ de $20 e^{x} + 15$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $5$ de $20 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Paso 5.2.3.1.2

Factoriza $5$ de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Paso 5.2.3.1.3

Factoriza $5$ de $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Paso 5.2.3.2

Factoriza $5$ de $20 e^{x} + 15$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $5$ de $20 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}})$

Paso 5.2.3.2.2

Factoriza $5$ de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}})$

Paso 5.2.3.2.3

Factoriza $5$ de $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 (3) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.1.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 \cdot (3 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.1.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{3 (\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.2

Combina $3$ y $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.3

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + \frac{8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8) + 8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.5

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.6

Reescribe $\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x}) + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.6.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.6.3

Multiplica $8$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x}) + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.6.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.6.6

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.6.7

Suma $32 e^{x}$ y $9 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 24 - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.6.8

Resta $24$ de $24$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 0}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.4.6.9

Suma $41 e^{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Paso 5.2.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Factoriza $5$ de $- 20$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 (- 4) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

Paso 5.2.5.1.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 \cdot (- 4 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

Paso 5.2.5.1.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 4 \frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.5.2

Combina $- 4$ y $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + \frac{- 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.5.4

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3} - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.5.6

Reescribe $\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x}) + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.5.6.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.5.6.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.5.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x}) - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.5.6.5

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.5.6.6

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.5.6.7

Resta $12 e^{x}$ de $12 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{0 + 9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.5.6.8

Suma $0$ y $9$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.5.6.9

Suma $9$ y $32$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{41}{4 e^{x} + 3}})$

Paso 5.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $41$ .

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Paso 5.2.7.1

Factoriza $41$ de $41 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 (e^{x})}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Paso 5.2.7.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Paso 5.2.7.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $4 e^{x} + 3$ .

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Paso 5.2.8.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

Paso 5.2.8.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (e^{x})$

Paso 5.2.9

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \ln (e)$

Paso 5.2.10

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \cdot 1$

Paso 5.2.11

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.2

Combina $3$ y $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.3

Para escribir $- 8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8 \cdot \frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.4

Combina $- 8$ y $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{- 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.6

Reordena los términos.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.7

Reescribe $\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x) + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.7.2

Multiplica $15$ por $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.7.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 \cdot 3 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.7.5

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.7.6

Multiplica $- 20$ por $- 8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 + 160 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.7.7

Suma $45 x$ y $160 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 24 - 24}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.7.8

Resta $24$ de $24$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 0}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.3.7.9

Suma $205 x$ y $0$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $5$ de $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Factoriza $5$ de $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 15}$

Paso 5.3.4.1.2

Factoriza $5$ de $15$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)}$

Paso 5.3.4.1.3

Factoriza $5$ de $5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 3)}$

Paso 5.3.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) + 3)}$

Paso 5.3.4.3

Combina $4$ y $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + 3)}$

Paso 5.3.4.4

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

Paso 5.3.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

Paso 5.3.4.6

Reordena los términos.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Paso 5.3.4.7

Reescribe $\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x) + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Paso 5.3.4.7.2

Multiplica $15$ por $4$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Paso 5.3.4.7.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Paso 5.3.4.7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 \cdot 3 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Paso 5.3.4.7.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Paso 5.3.4.7.6

Multiplica $- 20$ por $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 - 60 x}{- 20 x + 3})}$

Paso 5.3.4.7.7

Resta $60 x$ de $60 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{0 + 32 + 9}{- 20 x + 3})}$

Paso 5.3.4.7.8

Suma $0$ y $32$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{32 + 9}{- 20 x + 3})}$

Paso 5.3.4.7.9

Suma $32$ y $9$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{41}{- 20 x + 3})}$

Paso 5.3.5

Combina fracciones.

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Paso 5.3.5.1

Combina $5$ y $\frac{41}{- 20 x + 3}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{5 \cdot 41}{- 20 x + 3}}$

Paso 5.3.5.2

Multiplica $5$ por $41$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{205}{- 20 x + 3}}$

Paso 5.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $205$ .

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Paso 5.3.7.1

Factoriza $205$ de $205 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 (x)}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Paso 5.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Paso 5.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x}{- 20 x + 3} \cdot (- 20 x + 3)$

Paso 5.3.8

Multiplica $\frac{x}{- 20 x + 3}$ por $- 20 x + 3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

Paso 5.3.9

Cancela el factor común de $- 20 x + 3$ .

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Paso 5.3.9.1

Cancela el factor común.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

Paso 5.3.9.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ es la inversa de $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$