Trigonometría Ejemplos

$\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$

Step 1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Step 2

Establece $\csc (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\csc (x)$ igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

El rango de la cosecante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no se encuentra en este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 3

Establece $3 \cot^{2} (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $3 \cot^{2} (x) - 1$ igual a $0$ .

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Resuelve $3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 \cot^{2} (x) = 1$

Divide cada término en $3 \cot^{2} (x) = 1$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 \cot^{2} (x) = 1$ por $3$ .

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Divide $\cot^{2} (x)$ por $1$ .

$\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cot (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Evalúa el exponente.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Resuelve $x$ en $\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Simplifica $π + \frac{π}{3}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Suma $3 π$ y $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Resuelve $x$ en $\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{2 π}{3} - π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Suma $2 π$ a $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{3}$ es positivo y coterminal con $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las soluciones.

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Consolida $\frac{π}{3} + π n$ y $\frac{4 π}{3} + π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $\frac{2 π}{3} + π n$ y $\frac{5 π}{3} + π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

La solución final comprende todos los valores que hacen $\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$