Trigonometría Ejemplos

$8 \sin (x) \cos (x) = \sin (4 x)$

Step 1

Resta $\sin (4 x)$ de ambos lados de la ecuación.

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (4 x) = 0$

Step 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Simplifica cada término.

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Factoriza $2$ de $4 x$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 (2 x)) = 0$

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$8 \sin (x) \cos (x) - (2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

Multiplica $2$ por $2$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Multiplica $4$ por $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Suma $2$ y $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) + 8 (\sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Elimina los paréntesis.

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Resta $4 \sin (x) \cos (x)$ de $8 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Step 3

Factoriza $4 \sin (x) \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

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Factoriza $4 \sin (x) \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Factoriza $4 \sin (x) \cos (x)$ de $8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Factoriza $4 \sin (x) \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Step 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Step 5

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

Establece $1 + 2 \sin^{2} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $1 + 2 \sin^{2} (x)$ igual a $0$ .

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Resuelve $1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin^{2} (x) = - 1$

Divide cada término en $2 \sin^{2} (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \sin^{2} (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divide $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Reescribe $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Retira los términos de abajo del radical.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Evalúa el exponente.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

La inversa del seno de $\arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ es indefinida.

Indefinida

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

La inversa del seno de $\arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ es indefinida.

Indefinida

Enumera todas las soluciones.

No hay solución

Step 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$