Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$

Paso 1

Factoriza $3$ de $3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$ .

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{3}) - 33 x^{2} + 60 x + 96$

Paso 1.2

Factoriza $3$ de $- 33 x^{2}$ .

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 60 x + 96$

Paso 1.3

Factoriza $3$ de $60 x$ .

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 96$

Paso 1.4

Factoriza $3$ de $96$ .

$f (x) = 3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

Paso 1.5

Factoriza $3$ de $3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2})$ .

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

Paso 1.6

Factoriza $3$ de $3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x)$ .

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$

Paso 1.7

Factoriza $3$ de $3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$ .

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32)$

Paso 2

Factoriza $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Paso 2.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{3} - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

Paso 2.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

Paso 2.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 - 11 \cdot 1 + 20 \cdot - 1 + 32$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 11$ por $1$ .

$- 1 - 11 + 20 \cdot - 1 + 32$

Paso 2.3.5

Resta $11$ de $- 1$ .

$- 12 + 20 \cdot - 1 + 32$

Paso 2.3.6

Multiplica $20$ por $- 1$ .

$- 12 - 20 + 32$

Paso 2.3.7

Resta $20$ de $- 12$ .

$- 32 + 32$

Paso 2.3.8

Suma $- 32$ y $32$ .

$0$

Paso 2.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32}{x + 1}$

Paso 2.5

Divide $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ por $x + 1$ .

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Paso 2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$20 x$

$32$

Paso 2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$

Paso 2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Paso 2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

Paso 2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 12 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

Paso 2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Paso 2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 12 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Paso 2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$

Paso 2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

Paso 2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $32 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

Paso 2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							+	$32 x$	+	$32$

Paso 2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $32 x + 32$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$

Paso 2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$
										$0$

Paso 2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 12 x + 32$

Paso 2.6

Escribe $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ como un conjunto de factores.

$f (x) = 3 ((x + 1) (x^{2} - 12 x + 32))$

Paso 3

Factoriza.

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Paso 3.1

Factoriza $x^{2} - 12 x + 32$ con el método AC.

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2} - 12 x + 32$ con el método AC.

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Paso 3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $32$ y cuya suma es $- 12$ .

$- 8, - 4$

Paso 3.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f (x) = 3 ((x + 1) ((x - 8) (x - 4)))$

Paso 3.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = 3 ((x + 1) (x - 8) (x - 4))$

Paso 3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = 3 (x + 1) (x - 8) (x - 4)$