Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$

Paso 1

Factoriza $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 60, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 1.5, \pm 20, \pm 10, \pm 4, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 12, \pm 6$

Paso 1.3

Sustituye $- 1.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $- 1.5$ en el polinomio.

$2 {(- 1.5)}^{4} - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Paso 1.3.2

Eleva $- 1.5$ a la potencia de $4$ .

$2 \cdot 5.0625 - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $5.0625$ .

$10.125 - 19 {(- 1.5)}^{3} + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Paso 1.3.4

Eleva $- 1.5$ a la potencia de $3$ .

$10.125 - 19 \cdot - 3.375 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 19$ por $- 3.375$ .

$10.125 + 64.125 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Paso 1.3.6

Suma $10.125$ y $64.125$ .

$74.25 + 33 {(- 1.5)}^{2} + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Paso 1.3.7

Eleva $- 1.5$ a la potencia de $2$ .

$74.25 + 33 \cdot 2.25 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Paso 1.3.8

Multiplica $33$ por $2.25$ .

$74.25 + 74.25 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Paso 1.3.9

Suma $74.25$ y $74.25$ .

$148.5 + 59 \cdot - 1.5 - 60$

Paso 1.3.10

Multiplica $59$ por $- 1.5$ .

$148.5 - 88.5 - 60$

Paso 1.3.11

Resta $88.5$ de $148.5$ .

$60 - 60$

Paso 1.3.12

Resta $60$ de $60$ .

$0$

Paso 1.4

Como $- 1.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x + 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60}{2 x + 3}$

Paso 1.5

Divide $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ por $2 x + 3$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{4} + 3 x^{3}$ .

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 22 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 22 x^{3} - 33 x^{2}$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $66 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $66 x^{2} + 99 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

Paso 1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

Paso 1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 40 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

Paso 1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

Paso 1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 40 x - 60$ .

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

Paso 1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

$2 x$

$3$

$2 x^{4}$

$19 x^{3}$

$33 x^{2}$

$59 x$

$60$

$2 x^{4}$

$3 x^{3}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$22 x^{3}$

$33 x^{2}$

$66 x^{2}$

$59 x$

$66 x^{2}$

$99 x$

$40 x$

$60$

$40 x$

$60$

$0$

Paso 1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$

Paso 1.6

Escribe $2 x^{4} - 19 x^{3} + 33 x^{2} + 59 x - 60$ como un conjunto de factores.

$f (x) = (2 x + 3) (x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20)$

Paso 2

Factoriza $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1

Factoriza $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Paso 2.1.3

Sustituye $4$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.3.1

Sustituye $4$ en el polinomio.

$4^{3} - 11 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 20$

Paso 2.1.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$64 - 11 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 20$

Paso 2.1.3.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$64 - 11 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 20$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $- 11$ por $16$ .

$64 - 176 + 33 \cdot 4 - 20$

Paso 2.1.3.5

Resta $176$ de $64$ .

$- 112 + 33 \cdot 4 - 20$

Paso 2.1.3.6

Multiplica $33$ por $4$ .

$- 112 + 132 - 20$

Paso 2.1.3.7

Suma $- 112$ y $132$ .

$20 - 20$

Paso 2.1.3.8

Resta $20$ de $20$ .

$0$

Paso 2.1.4

Como $4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 4$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20}{x - 4}$

Paso 2.1.5

Divide $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ por $x - 4$ .

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Paso 2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$33 x$

$20$

Paso 2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$

Paso 2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Paso 2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Paso 2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Paso 2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$

Paso 2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 7 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$

Paso 2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$28 x$

Paso 2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 7 x^{2} + 28 x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$

Paso 2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$

Paso 2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Paso 2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Paso 2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							+	$5 x$	-	$20$

Paso 2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x - 20$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$

Paso 2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$33 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$28 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$
										$0$

Paso 2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 7 x + 5$

Paso 2.1.6

Escribe $x^{3} - 11 x^{2} + 33 x - 20$ como un conjunto de factores.

$f (x) = (2 x + 3) ((x - 4) (x^{2} - 7 x + 5))$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = (2 x + 3) (x - 4) (x^{2} - 7 x + 5)$