Trigonometría Ejemplos

$g (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 6$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Paso 3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$3 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 6$

Paso 3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$3 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 6$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 + 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 6$

Paso 3.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 3 + 2 \cdot 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 3 + 2 - 7 \cdot - 1 - 6$

Paso 3.6

Suma $- 3$ y $2$ .

$- 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

Paso 3.7

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$- 1 + 7 - 6$

Paso 3.8

Suma $- 1$ y $7$ .

$6 - 6$

Paso 3.9

Resta $6$ de $6$ .

$0$

Paso 4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 6}{x + 1}$

Paso 5

Divide $3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 6$ por $x + 1$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x$

$6$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} - x$ .

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$

Paso 5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$3 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Paso 5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Paso 5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Paso 5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x - 6$ .

				$3 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Paso 5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Paso 5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$3 x^{2} - x - 6$

Paso 6

Escribe $3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 6$ como un conjunto de factores.

$g (x) = (x + 1) (3 x^{2} - x - 6)$