Trigonometría Ejemplos

$y = {(x + 4)}^{2} - 8$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = - 4$

$k = - 8$

Paso 1.2

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 4, - 8)$

Paso 1.4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 1.5

Obtén el foco.

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Paso 1.5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 4, - \frac{31}{4})$

Paso 1.6

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 4$

Paso 1.7

Obtén la directriz.

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Paso 1.7.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.7.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{33}{4}$

Paso 1.8

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 4, - 8)$

Foco: $(- 4, - \frac{31}{4})$

Eje de simetría: $x = - 4$

Directriz: $y = - \frac{33}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 4, - 8)$

Foco: $(- 4, - \frac{31}{4})$

Eje de simetría: $x = - 4$

Directriz: $y = - \frac{33}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = {(- 5)}^{2} + 8 (- 5) + 8$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = 25 + 8 (- 5) + 8$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $8$ por $- 5$ .

$f (- 5) = 25 - 40 + 8$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Resta $40$ de $25$ .

$f (- 5) = - 15 + 8$

Paso 2.2.2.2

Suma $- 15$ y $8$ .

$f (- 5) = - 7$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $- 7$ .

$- 7$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 5$ es $- 7$ .

$y = - 7$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = {(- 6)}^{2} + 8 (- 6) + 8$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f (- 6) = 36 + 8 (- 6) + 8$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $8$ por $- 6$ .

$f (- 6) = 36 - 48 + 8$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.5.2.1

Resta $48$ de $36$ .

$f (- 6) = - 12 + 8$

Paso 2.5.2.2

Suma $- 12$ y $8$ .

$f (- 6) = - 4$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 6$ es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 8 (- 3) + 8$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = 9 + 8 (- 3) + 8$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $8$ por $- 3$ .

$f (- 3) = 9 - 24 + 8$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Resta $24$ de $9$ .

$f (- 3) = - 15 + 8$

Paso 2.8.2.2

Suma $- 15$ y $8$ .

$f (- 3) = - 7$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $- 7$ .

$- 7$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $- 7$ .

$y = - 7$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 8 (- 2) + 8$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 4 + 8 (- 2) + 8$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 4 - 16 + 8$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.2.1

Resta $16$ de $4$ .

$f (- 2) = - 12 + 8$

Paso 2.11.2.2

Suma $- 12$ y $8$ .

$f (- 2) = - 4$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 4 \\ - 5 & - 7 \\ - 4 & - 8 \\ - 3 & - 7 \\ - 2 & - 4 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 4, - 8)$

Foco: $(- 4, - \frac{31}{4})$

Eje de simetría: $x = - 4$

Directriz: $y = - \frac{33}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 4 \\ - 5 & - 7 \\ - 4 & - 8 \\ - 3 & - 7 \\ - 2 & - 4 \end{array}$

Paso 4