Trigonometría Ejemplos

$y = - x^{2} + 9 x + 14$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $- x^{2} + 9 x + 14$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 9$

$c = 14$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{9}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$d = \frac{9}{- 2}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{9}{2}$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 14 - \frac{9^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$e = 14 - \frac{81}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 14 - \frac{81}{- 4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 14 - - \frac{81}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- - \frac{81}{4}$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 14 + 1 (\frac{81}{4})$

Paso 1.1.1.4.2.1.4.2

Multiplica $\frac{81}{4}$ por $1$ .

$e = 14 + \frac{81}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Para escribir $14$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$e = 14 \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.3

Combina $14$ y $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{14 \cdot 4}{4} + \frac{81}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{14 \cdot 4 + 81}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.4.2.5.1

Multiplica $14$ por $4$ .

$e = \frac{56 + 81}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.5.2

Suma $56$ y $81$ .

$e = \frac{137}{4}$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x - \frac{9}{2})}^{2} + \frac{137}{4}$ .

$- {(x - \frac{9}{2})}^{2} + \frac{137}{4}$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - {(x - \frac{9}{2})}^{2} + \frac{137}{4}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = \frac{9}{2}$

$k = \frac{137}{4}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{9}{2}, \frac{137}{4})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{9}{2}, 34)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{9}{2}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{69}{2}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(\frac{9}{2}, \frac{137}{4})$

Foco: $(\frac{9}{2}, 34)$

Eje de simetría: $x = \frac{9}{2}$

Directriz: $y = \frac{69}{2}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(\frac{9}{2}, \frac{137}{4})$

Foco: $(\frac{9}{2}, 34)$

Eje de simetría: $x = \frac{9}{2}$

Directriz: $y = \frac{69}{2}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 9 (3) + 14$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 9 (3) + 14$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f (3) = - 9 + 9 (3) + 14$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $9$ por $3$ .

$f (3) = - 9 + 27 + 14$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.2.1

Suma $- 9$ y $27$ .

$f (3) = 18 + 14$

Paso 2.2.2.2

Suma $18$ y $14$ .

$f (3) = 32$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $32$ .

$32$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 3$ es $32$ .

$y = 32$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 9 (2) + 14$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 9 (2) + 14$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (2) = - 4 + 9 (2) + 14$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $9$ por $2$ .

$f (2) = - 4 + 18 + 14$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.5.2.1

Suma $- 4$ y $18$ .

$f (2) = 14 + 14$

Paso 2.5.2.2

Suma $14$ y $14$ .

$f (2) = 28$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $28$ .

$28$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 2$ es $28$ .

$y = 28$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = - {(5)}^{2} + 9 (5) + 14$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 9 (5) + 14$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f (5) = - 25 + 9 (5) + 14$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $9$ por $5$ .

$f (5) = - 25 + 45 + 14$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.8.2.1

Suma $- 25$ y $45$ .

$f (5) = 20 + 14$

Paso 2.8.2.2

Suma $20$ y $14$ .

$f (5) = 34$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $34$ .

$34$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 5$ es $34$ .

$y = 34$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = - {(6)}^{2} + 9 (6) + 14$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 9 (6) + 14$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$f (6) = - 36 + 9 (6) + 14$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $9$ por $6$ .

$f (6) = - 36 + 54 + 14$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.11.2.1

Suma $- 36$ y $54$ .

$f (6) = 18 + 14$

Paso 2.11.2.2

Suma $18$ y $14$ .

$f (6) = 32$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $32$ .

$32$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 6$ es $32$ .

$y = 32$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 28 \\ 3 & 32 \\ \frac{9}{2} & \frac{137}{4} \\ 5 & 34 \\ 6 & 32 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(\frac{9}{2}, \frac{137}{4})$

Foco: $(\frac{9}{2}, 34)$

Eje de simetría: $x = \frac{9}{2}$

Directriz: $y = \frac{69}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 28 \\ 3 & 32 \\ \frac{9}{2} & \frac{137}{4} \\ 5 & 34 \\ 6 & 32 \end{array}$

Paso 4