Trigonometría Ejemplos

$y = \frac{2}{5} \cdot {(x - 4)}^{2} - 3$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{2}{5}$

$h = 4$

$k = - 3$

Paso 1.2

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(4, - 3)$

Paso 1.4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{2}{5}}$

Paso 1.4.3

Simplifica.

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Paso 1.4.3.1

Combina $4$ y $\frac{2}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{5}}$

Paso 1.4.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{\frac{8}{5}}$

Paso 1.4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{5}{8})$

Paso 1.4.3.4

Multiplica $\frac{5}{8}$ por $1$ .

$\frac{5}{8}$

Paso 1.5

Obtén el foco.

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Paso 1.5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, - \frac{19}{8})$

Paso 1.6

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 4$

Paso 1.7

Obtén la directriz.

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Paso 1.7.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.7.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{29}{8}$

Paso 1.8

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(4, - 3)$

Foco: $(4, - \frac{19}{8})$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = - \frac{29}{8}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(4, - 3)$

Foco: $(4, - \frac{19}{8})$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = - \frac{29}{8}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2}}{5} - \frac{16 (3)}{5} + \frac{17}{5}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Paso 2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = \frac{2 \cdot 9 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$f (3) = \frac{18 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$f (3) = \frac{18 - 48 + 17}{5}$

Paso 2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.1

Resta $48$ de $18$ .

$f (3) = \frac{- 30 + 17}{5}$

Paso 2.2.3.2

Suma $- 30$ y $17$ .

$f (3) = \frac{- 13}{5}$

Paso 2.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (3) = - \frac{13}{5}$

Paso 2.2.4

La respuesta final es $- \frac{13}{5}$ .

$- \frac{13}{5}$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 3$ es $- \frac{13}{5}$ .

$y = - \frac{13}{5}$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2}}{5} - \frac{16 (2)}{5} + \frac{17}{5}$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Paso 2.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{2}$ .

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Paso 2.5.2.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Paso 2.5.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (2) = \frac{2^{1 + 2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Paso 2.5.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (2) = \frac{2^{3} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Paso 2.5.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Paso 2.5.2.3

Multiplica $- 16$ por $2$ .

$f (2) = \frac{8 - 32 + 17}{5}$

Paso 2.5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.3.1

Resta $32$ de $8$ .

$f (2) = \frac{- 24 + 17}{5}$

Paso 2.5.3.2

Suma $- 24$ y $17$ .

$f (2) = \frac{- 7}{5}$

Paso 2.5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (2) = - \frac{7}{5}$

Paso 2.5.4

La respuesta final es $- \frac{7}{5}$ .

$- \frac{7}{5}$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- \frac{7}{5}$ .

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2}}{5} - \frac{16 (5)}{5} + \frac{17}{5}$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2} - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Paso 2.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = \frac{2 \cdot 25 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Paso 2.8.2.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$f (5) = \frac{50 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Paso 2.8.2.3

Multiplica $- 16$ por $5$ .

$f (5) = \frac{50 - 80 + 17}{5}$

Paso 2.8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.3.1

Resta $80$ de $50$ .

$f (5) = \frac{- 30 + 17}{5}$

Paso 2.8.3.2

Suma $- 30$ y $17$ .

$f (5) = \frac{- 13}{5}$

Paso 2.8.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (5) = - \frac{13}{5}$

Paso 2.8.4

La respuesta final es $- \frac{13}{5}$ .

$- \frac{13}{5}$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 5$ es $- \frac{13}{5}$ .

$y = - \frac{13}{5}$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2}}{5} - \frac{16 (6)}{5} + \frac{17}{5}$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2} - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Paso 2.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (6) = \frac{2 \cdot 36 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Paso 2.11.2.2

Multiplica $2$ por $36$ .

$f (6) = \frac{72 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Paso 2.11.2.3

Multiplica $- 16$ por $6$ .

$f (6) = \frac{72 - 96 + 17}{5}$

Paso 2.11.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.3.1

Resta $96$ de $72$ .

$f (6) = \frac{- 24 + 17}{5}$

Paso 2.11.3.2

Suma $- 24$ y $17$ .

$f (6) = \frac{- 7}{5}$

Paso 2.11.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (6) = - \frac{7}{5}$

Paso 2.11.4

La respuesta final es $- \frac{7}{5}$ .

$- \frac{7}{5}$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 6$ es $- \frac{7}{5}$ .

$y = - \frac{7}{5}$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(4, - 3)$

Foco: $(4, - \frac{19}{8})$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = - \frac{29}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

Paso 4