Trigonometría Ejemplos

$y = \frac{1}{2} \cdot ((x - 5) (x + 2))$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{2} \cdot ((x - 5) (x + 2))$

Paso 1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot ((x - 5) (x + 2))$ .

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Paso 1.2.1

Expande $(x - 5) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x (x + 2) - 5 (x + 2))$

Paso 1.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2))$

Paso 1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2)$

Paso 1.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2)$

Paso 1.2.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2)$

Paso 1.2.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 x - 5 x - 10)$

Paso 1.2.2.2

Resta $5 x$ de $2 x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 10)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (- 3 x) + \frac{1}{2} \cdot - 10$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 3 x) + \frac{1}{2} \cdot - 10$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $\frac{1}{2} (- 3 x)$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 3}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 10$

Paso 1.2.4.2.2

Combina $\frac{- 3}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 10$

Paso 1.2.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.3.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 5))$

Paso 1.2.4.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 5)$

Paso 1.2.4.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{2} - 5$

Paso 1.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{2} - \frac{3 x}{2} - 5$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 x}{2} - 5$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - \frac{3}{2}$

$c = - 5$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.1.3.2.3

Divide $2$ por $2$ .

$d = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 2.1.1.3.2.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.1.1.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$d = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 2.1.1.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$d = - \frac{3}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.3.2.5

Multiplica $- \frac{3}{2}$ por $1$ .

$d = - \frac{3}{2}$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- \frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = - 5 - \frac{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$e = - 5 - \frac{1 \frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = - 5 - \frac{1 \frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = - 5 - \frac{1 (\frac{9}{4})}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$e = - 5 - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = - 5 - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Divide $4$ por $2$ .

$e = - 5 - \frac{\frac{9}{4}}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - 5 - (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Multiplica $\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.5.1

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e = - 5 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

Paso 2.1.1.4.2.1.5.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$e = - 5 - \frac{9}{8}$

Paso 2.1.1.4.2.2

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$e = - 5 \cdot \frac{8}{8} - \frac{9}{8}$

Paso 2.1.1.4.2.3

Combina $- 5$ y $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{- 5 \cdot 8}{8} - \frac{9}{8}$

Paso 2.1.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 5 \cdot 8 - 9}{8}$

Paso 2.1.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.4.2.5.1

Multiplica $- 5$ por $8$ .

$e = \frac{- 40 - 9}{8}$

Paso 2.1.1.4.2.5.2

Resta $9$ de $- 40$ .

$e = \frac{- 49}{8}$

Paso 2.1.1.4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{49}{8}$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{2} {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{49}{8}$ .

$\frac{1}{2} {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{49}{8}$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{49}{8}$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = \frac{3}{2}$

$k = - \frac{49}{8}$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{49}{8})$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.5.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{3}{2}, - \frac{45}{8})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{53}{8}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{3}{2}, - \frac{49}{8})$

Foco: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{8})$

Eje de simetría: $x = \frac{3}{2}$

Directriz: $y = - \frac{53}{8}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{3}{2}, - \frac{49}{8})$

Foco: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{8})$

Eje de simetría: $x = \frac{3}{2}$

Directriz: $y = - \frac{53}{8}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - \frac{3 (1)}{2} - 5$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = - 5 + \frac{{(1)}^{2} - 3 \cdot 1}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - 5 + \frac{1 - 3 \cdot 1}{2}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f (1) = - 5 + \frac{1 - 3}{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.1

Resta $3$ de $1$ .

$f (1) = - 5 + \frac{- 2}{2}$

Paso 3.2.3.2

Divide $- 2$ por $2$ .

$f (1) = - 5 - 1$

Paso 3.2.3.3

Resta $1$ de $- 5$ .

$f (1) = - 6$

Paso 3.2.4

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = 1$ es $- 6$ .

$y = - 6$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - \frac{3 (0)}{2} - 5$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (0) = - 5 + \frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = - 5 + \frac{0 - 3 \cdot 0}{2}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f (0) = - 5 + \frac{0 + 0}{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.3.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = - 5 + \frac{0}{2}$

Paso 3.5.3.2

Divide $0$ por $2$ .

$f (0) = - 5 + 0$

Paso 3.5.3.3

Suma $- 5$ y $0$ .

$f (0) = - 5$

Paso 3.5.4

La respuesta final es $- 5$ .

$- 5$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = 0$ es $- 5$ .

$y = - 5$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{{(3)}^{2}}{2} - \frac{3 (3)}{2} - 5$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (3) = - 5 + \frac{{(3)}^{2} - 3 \cdot 3}{2}$

Paso 3.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = - 5 + \frac{9 - 3 \cdot 3}{2}$

Paso 3.8.2.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f (3) = - 5 + \frac{9 - 9}{2}$

Paso 3.8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.3.1

Resta $9$ de $9$ .

$f (3) = - 5 + \frac{0}{2}$

Paso 3.8.3.2

Divide $0$ por $2$ .

$f (3) = - 5 + 0$

Paso 3.8.3.3

Suma $- 5$ y $0$ .

$f (3) = - 5$

Paso 3.8.4

La respuesta final es $- 5$ .

$- 5$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 3$ es $- 5$ .

$y = - 5$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - \frac{3 (4)}{2} - 5$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (4) = - 5 + \frac{{(4)}^{2} - 3 \cdot 4}{2}$

Paso 3.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = - 5 + \frac{16 - 3 \cdot 4}{2}$

Paso 3.11.2.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f (4) = - 5 + \frac{16 - 12}{2}$

Paso 3.11.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.11.3.1

Resta $12$ de $16$ .

$f (4) = - 5 + \frac{4}{2}$

Paso 3.11.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$f (4) = - 5 + 2$

Paso 3.11.3.3

Suma $- 5$ y $2$ .

$f (4) = - 3$

Paso 3.11.4

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 4$ es $- 3$ .

$y = - 3$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 5 \\ 1 & - 6 \\ \frac{3}{2} & - \frac{49}{8} \\ 3 & - 5 \\ 4 & - 3 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{3}{2}, - \frac{49}{8})$

Foco: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{8})$

Eje de simetría: $x = \frac{3}{2}$

Directriz: $y = - \frac{53}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 5 \\ 1 & - 6 \\ \frac{3}{2} & - \frac{49}{8} \\ 3 & - 5 \\ 4 & - 3 \end{array}$

Paso 5