Trigonometría Ejemplos

$y = - \frac{1}{2} \cdot \sin (3 x - \frac{π}{3}) - 1$

Step 1

Usa la forma $a \sin (b x - c) + d$ para obtener las variables utilizadas para obtener la amplitud, el período, el desfase y el desplazamiento vertical.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{π}{3}$

$d = - 1$

Step 2

Obtén la amplitud $| a |$ .

Amplitud: $\frac{1}{2}$

Step 3

Obtén el período con la fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Toca para ver más pasos...

Obtén el período de $- \frac{\sin (3 x - \frac{π}{3})}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Obtén el período de $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

El período de la suma/resta de las funciones trigonométricas es el máximo de los períodos individuales.

$\frac{2 π}{3}$

Step 4

Obtén el desfase con la fórmula $\frac{c}{b}$ .

Toca para ver más pasos...

El desfase de la función puede calcularse a partir de $\frac{c}{b}$ .

Desfase: $\frac{c}{b}$

Reemplaza los valores de $c$ y $b$ en la ecuación para el desfase.

Desfase: $\frac{\frac{π}{3}}{3}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

Desfase: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Multiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

Desfase: $\frac{π}{3 \cdot 3}$

Multiplica $3$ por $3$ .

Desfase: $\frac{π}{9}$

Step 5

Enumera las propiedades de la función trigonométrica.

Amplitud: $\frac{1}{2}$

Período: $\frac{2 π}{3}$

Desfase: $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ a la derecha)

Desplazamiento vertical: $- 1$

Step 6

Selecciona algunos puntos para la gráfica.

Toca para ver más pasos...

Obtén el punto en $x = \frac{π}{9}$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{9}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{9}) = - \frac{\sin (3 (\frac{π}{9}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{π}{9}) = - \frac{\sin (3 (\frac{π}{3 (3)}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{9}) = - \frac{\sin (3 (\frac{π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{π - π}{3})}{2} - 1$

Resta $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{0}{3})}{2} - 1$

Divide $0$ por $3$ .

$f (\frac{π}{9}) = - \frac{\sin (0)}{2} - 1$

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = - \frac{0}{2} - 1$

Divide $0$ por $2$ .

$f (\frac{π}{9}) = - 0 - 1$

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = 0 - 1$

Resta $1$ de $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = - 1$

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Obtén el punto en $x = \frac{5 π}{18}$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{18}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (3 (\frac{5 π}{18}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $18$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (3 (\frac{5 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (3 (\frac{5 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Para escribir $- \frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2} - 1$

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2} - 1$

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})}{2} - 1$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{6})}{2} - 1$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{5 π - 2 π}{6})}{2} - 1$

Resta $2 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{3 π}{6})}{2} - 1$

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $3 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{3 (π)}{6})}{2} - 1$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2} - 1$

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2} - 1$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} - 1$

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{1}{2} - 1$

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 π}{18}) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Resta $2$ de $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = \frac{- 3}{2}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{5 π}{18}) = - \frac{3}{2}$

La respuesta final es $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Obtén el punto en $x = \frac{4 π}{9}$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{4 π}{9}$ en la expresión.

$f (\frac{4 π}{9}) = - \frac{\sin (3 (\frac{4 π}{9}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = - \frac{\sin (3 (\frac{4 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 π}{9}) = - \frac{\sin (3 (\frac{4 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4 π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{4 π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{4 π - π}{3})}{2} - 1$

Resta $π$ de $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{3 π}{3})}{2} - 1$

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{3 π}{3})}{2} - 1$

Divide $π$ por $1$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = - \frac{\sin (π)}{2} - 1$

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{4 π}{9}) = - \frac{\sin (0)}{2} - 1$

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = - \frac{0}{2} - 1$

Divide $0$ por $2$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = - 0 - 1$

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 0 - 1$

Resta $1$ de $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = - 1$

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Obtén el punto en $x = \frac{11 π}{18}$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{11 π}{18}$ en la expresión.

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (3 (\frac{11 π}{18}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $18$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (3 (\frac{11 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Cancela el factor común.

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (3 (\frac{11 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Para escribir $- \frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2} - 1$

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2} - 1$

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})}{2} - 1$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{11 π - π \cdot 2}{6})}{2} - 1$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{11 π - 2 π}{6})}{2} - 1$

Resta $2 π$ de $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{9 π}{6})}{2} - 1$

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $9 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{2} - 1$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{2} - 1$

Cancela el factor común.

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{2} - 1$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{2} - 1$

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{2} - 1$

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{- 1 \cdot 1}{2} - 1$

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{- 1}{2} - 1$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{11 π}{18}) = \frac{1}{2} - 1$

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 1 (\frac{1}{2}) - 1$

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = \frac{1}{2} - 1$

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{11 π}{18}) = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = \frac{1 - 2}{2}$

Resta $2$ de $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = \frac{- 1}{2}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{11 π}{18}) = - \frac{1}{2}$

La respuesta final es $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Obtén el punto en $x = \frac{7 π}{9}$ .

Toca para ver más pasos...

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7 π}{9}$ en la expresión.

$f (\frac{7 π}{9}) = - \frac{\sin (3 (\frac{7 π}{9}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = - \frac{\sin (3 (\frac{7 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 π}{9}) = - \frac{\sin (3 (\frac{7 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3})}{2} - 1$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7 π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{7 π - π}{3})}{2} - 1$

Resta $π$ de $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{6 π}{3})}{2} - 1$

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{3 (2 π)}{3})}{2} - 1$

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Factoriza $3$ de $3$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})}{2} - 1$

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})}{2} - 1$

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 π}{9}) = - \frac{\sin (\frac{2 π}{1})}{2} - 1$

Divide $2 π$ por $1$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = - \frac{\sin (2 π)}{2} - 1$

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = - \frac{\sin (0)}{2} - 1$

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = - \frac{0}{2} - 1$

Divide $0$ por $2$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = - 0 - 1$

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 0 - 1$

Resta $1$ de $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = - 1$

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Enumera los puntos en una tabla.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & - 1 \\ \frac{5 π}{18} & - \frac{3}{2} \\ \frac{4 π}{9} & - 1 \\ \frac{11 π}{18} & - \frac{1}{2} \\ \frac{7 π}{9} & - 1 \end{array}$

Step 7

La función trigonométrica puede representarse de forma gráfica con la amplitud, el período, el desfase, el desplazamiento vertical y los puntos.

Amplitud: $\frac{1}{2}$

Período: $\frac{2 π}{3}$

Desfase: $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ a la derecha)

Desplazamiento vertical: $- 1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & - 1 \\ \frac{5 π}{18} & - \frac{3}{2} \\ \frac{4 π}{9} & - 1 \\ \frac{11 π}{18} & - \frac{1}{2} \\ \frac{7 π}{9} & - 1 \end{array}$

Step 8