Trigonometría Ejemplos

$\sin (2 θ)$

Step 1

Un buen método para expandir $\sin (2 θ)$ es usar el teorema de DeMoivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Cuando $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Step 2

Expande el lado derecho de $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ con el teorema del binomio.

Expandir ${(\cos (θ) + i \cdot \sin (θ))}^{2}$

Step 3

Reescribe ${(\cos (θ) + i \sin (θ))}^{2}$ como $(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$ .

$(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Step 4

Expande $(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ)) + i \sin (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Step 5

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Multiplica $i \sin (θ) (i \sin (θ))$ .

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Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1} i \sin (θ) \sin (θ)$

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1} i^{1} \sin (θ) \sin (θ)$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1 + 1} \sin (θ) \sin (θ)$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} \sin (θ) \sin (θ)$

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ))$

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} \sin^{2} (θ)$

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) - 1 \sin^{2} (θ)$

Reescribe $- 1 \sin^{2} (θ)$ como $- \sin^{2} (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) - \sin^{2} (θ)$

Reordena los factores de $i \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ)$

Suma $i \cos (θ) \sin (θ)$ y $i \cos (θ) \sin (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ)$

Step 6

Mueve $- \sin^{2} (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ)$

Step 7

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$\cos (2 θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ)$

Step 8

Simplifica cada término.

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Agrega paréntesis.

$\cos (2 θ) + 2 i (\cos (θ) \sin (θ))$

Reordena $2 i$ y $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\cos (2 θ) + \cos (θ) \sin (θ) (2 i)$

Agrega paréntesis.

$\cos (2 θ) + \cos (θ) (\sin (θ) \cdot 2) i$

Reordena $\cos (θ)$ y $\sin (θ) \cdot 2$ .

$\cos (2 θ) + \sin (θ) \cdot 2 \cos (θ) i$

Reordena $\sin (θ)$ y $2$ .

$\cos (2 θ) + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ) i$

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\cos (2 θ) + \sin (2 θ) i$

Step 9

Reordena los factores en $\cos (2 θ) + \sin (2 θ) i$ .

$\cos (2 θ) + i \sin (2 θ)$

Step 10

Saca las expresiones con la parte imaginaria, que son equivalentes a $\sin (2 θ)$ . Elimina el número imaginario $i$ .

$\sin (2 θ) = 2 \sin (θ) \cos (θ)$