Trigonometría Ejemplos

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y - 29 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Suma $29$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y = 29$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $4 x^{2} - 16 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 16$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 8}{4}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $256$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Paso 1.3

Sustituye $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ por $4 x^{2} - 16 x$ en la ecuación $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y = 29$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - 9 y^{2} + 54 y = 29$

Paso 1.4

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} + 54 y = 29 + 16$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- 9 y^{2} + 54 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 9$

$b = 54$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $54$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (- 9)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{27}{- 9}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $27$ y $- 9$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$d = \frac{9 (3)}{- 9}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Paso 1.5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$d = - 3$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot - 9}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $54$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot - 9}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{- 36}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $2916$ por $- 36$ .

$e = 0 - - 81$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 81$ .

$e = 0 + 81$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $81$ .

$e = 81$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 9 {(y - 3)}^{2} + 81$ .

$- 9 {(y - 3)}^{2} + 81$

Paso 1.6

Sustituye $- 9 {(y - 3)}^{2} + 81$ por $- 9 y^{2} + 54 y$ en la ecuación $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y = 29$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} + 81 = 29 + 16$

Paso 1.7

Mueve $81$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $81$ a ambos lados.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} = 29 + 16 - 81$

Paso 1.8

Simplifica $29 + 16 - 81$ .

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Paso 1.8.1

Suma $29$ y $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} = 45 - 81$

Paso 1.8.2

Resta $81$ de $45$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} = - 36$

Paso 1.9

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- 4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 36$

Paso 1.10

Divide cada término por $36$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{4 {(x - 2)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Paso 1.11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 2$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(2, 3)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + 9}$

Paso 5.3.3

Suma $4$ y $9$ .

$\sqrt{13}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, 5)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, 1)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(2, 5), (2, 1)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, 3 + \sqrt{13})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, 3 - \sqrt{13})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(2, 3 + \sqrt{13}), (2, 3 - \sqrt{13})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

Paso 8.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

Paso 8.3.3

Suma $4$ y $9$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{9}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{9}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$

Paso 11.2

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 2) + 3$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Paso 11.2.1.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Paso 11.2.1.4

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3} + 3$

Paso 11.2.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3} + 3$

Paso 11.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 3$

Paso 11.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 11.2.3

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 3 \cdot 3}{3}$

Paso 11.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 9}{3}$

Paso 11.2.5.2

Suma $- 4$ y $9$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$

Paso 12.2

Simplifica $- \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - 2) + 3$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Paso 12.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Paso 12.2.1.4

Multiplica $- \frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 12.2.1.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + 2 (\frac{2}{3}) + 3$

Paso 12.2.1.4.2

Combina $2$ y $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} + 3$

Paso 12.2.1.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{4}{3} + 3$

Paso 12.2.1.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 3$

Paso 12.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 12.2.3

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 3 \cdot 3}{3}$

Paso 12.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.5.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 9}{3}$

Paso 12.2.5.2

Suma $4$ y $9$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{13}{3}$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}, y = - \frac{2 x}{3} + \frac{13}{3}$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(2, 3)$

Vértices: $(2, 5), (2, 1)$

Focos: $(2, 3 + \sqrt{13}), (2, 3 - \sqrt{13})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Parámetro focal: $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Asíntotas: $y = \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}$ , $y = - \frac{2 x}{3} + \frac{13}{3}$

Paso 15