Trigonometría Ejemplos

$y^{2} - 4 y - x + 3 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y - x + 3 = - y^{2}$

Paso 1.2

Suma $4 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- x + 3 = - y^{2} + 4 y$

Paso 1.3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - y^{2} + 4 y - 3$

Paso 2

Divide cada término en $- x = - y^{2} + 4 y - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $- x = - y^{2} + 4 y - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.3.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$x = y^{2} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (4 y) + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot (4 y)$ como $- (4 y)$ .

$x = y^{2} - (4 y) + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x = y^{2} - 4 y + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 2.3.1.6

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$x = y^{2} - 4 y + 3$

Paso 3

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 3.1.1

Completa el cuadrado de $y^{2} - 4 y + 3$ .

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Paso 3.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 3$

Paso 3.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 3.1.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 3.1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 3.1.1.3.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 3.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 3.1.1.4.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 3 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = 3 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 3 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.4.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = 3 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.4.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.4.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.1.4.2.1.1.6.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 3.1.1.4.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 3.1.1.4.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$e = 3 - \frac{4}{1}$

Paso 3.1.1.4.2.1.1.6.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 3 - 1 \cdot 4$

Paso 3.1.1.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 3 - 4$

Paso 3.1.1.4.2.2

Resta $4$ de $3$ .

$e = - 1$

Paso 3.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 2)}^{2} - 1$ .

${(y - 2)}^{2} - 1$

Paso 3.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = {(y - 2)}^{2} - 1$

Paso 3.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = - 1$

$k = 2$

Paso 3.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 3.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 1, 2)$

Paso 3.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 3.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 3.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 3.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 3.6

Obtén el foco.

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Paso 3.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 3.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{3}{4}, 2)$

Paso 3.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 2$

Paso 3.8

Obtén la directriz.

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Paso 3.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 3.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{5}{4}$

Paso 3.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 1, 2)$

Foco: $(- \frac{3}{4}, 2)$

Eje de simetría: $y = 2$

Directriz: $x = - \frac{5}{4}$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 1, 2)$

Foco: $(- \frac{3}{4}, 2)$

Eje de simetría: $y = 2$

Directriz: $x = - \frac{5}{4}$

Paso 4

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ . En este caso, el punto es $(0, 3)$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 + \sqrt{- 1 (- (0) - 1)}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 2 + \sqrt{- 1 (0 - 1)}$

Paso 4.1.2.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (0) = 2 + \sqrt{1}$

Paso 4.1.2.1.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (0) = 2 + 1$

Paso 4.1.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f (0) = 3$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $3$ .

$y = 3$

Paso 4.1.3

Convierte $3$ a decimal.

$= 3$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ . En este caso, el punto es $(0, 1)$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 - \sqrt{- 1 (- (0) - 1)}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 2 - \sqrt{- 1 (0 - 1)}$

Paso 4.2.2.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (0) = 2 - \sqrt{1}$

Paso 4.2.2.1.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (0) = 2 - 1 \cdot 1$

Paso 4.2.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (0) = 2 - 1$

Paso 4.2.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$f (0) = 1$

Paso 4.2.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 4.2.3

Convierte $1$ a decimal.

$= 1$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ . En este caso, el punto es $(1, 3.41421356)$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 (- (1) - 1)}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 (- 1 - 1)}$

Paso 4.3.2.1.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{2}$

Paso 4.3.2.2

La respuesta final es $2 + \sqrt{2}$ .

$y = 2 + \sqrt{2}$

Paso 4.3.3

Convierte $2 + \sqrt{2}$ a decimal.

$= 3.41421356$

Paso 4.4

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ . En este caso, el punto es $(1, 0.58578643)$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 (- (1) - 1)}$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 (- 1 - 1)}$

Paso 4.4.2.1.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Paso 4.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{2}$

Paso 4.4.2.2

La respuesta final es $2 - \sqrt{2}$ .

$y = 2 - \sqrt{2}$

Paso 4.4.3

Convierte $2 - \sqrt{2}$ a decimal.

$= 0.58578643$

Paso 4.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 1 \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \end{array}$

Paso 5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 1, 2)$

Foco: $(- \frac{3}{4}, 2)$

Eje de simetría: $y = 2$

Directriz: $x = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 1 \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \end{array}$

Paso 6