Trigonometría Ejemplos

$x^{2} + 25 y^{2} - 400 y + 1575 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Resta $1575$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 25 y^{2} - 400 y = - 1575$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $25 y^{2} - 400 y$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 25$

$b = - 400$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 400}{2 \cdot 25}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 400$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 400$ .

$d = \frac{2 \cdot - 200}{2 \cdot 25}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 200}{2 (25)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 200}{2 \cdot 25}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 200}{25}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 200$ y $25$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $25$ de $- 200$ .

$d = \frac{25 \cdot - 8}{25}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $25$ de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 8}{25 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{25 \cdot - 8}{25 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 8}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 8$ por $1$ .

$d = - 8$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 400)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 400$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{160000}{4 \cdot 25}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $25$ .

$e = 0 - \frac{160000}{100}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $160000$ por $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 1600$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1600$ .

$e = 0 - 1600$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $1600$ de $0$ .

$e = - 1600$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $25 {(y - 8)}^{2} - 1600$ .

$25 {(y - 8)}^{2} - 1600$

Paso 1.3

Sustituye $25 {(y - 8)}^{2} - 1600$ por $25 y^{2} - 400 y$ en la ecuación $x^{2} + 25 y^{2} - 400 y = - 1575$ .

$x^{2} + 25 {(y - 8)}^{2} - 1600 = - 1575$

Paso 1.4

Mueve $- 1600$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1600$ a ambos lados.

$x^{2} + 25 {(y - 8)}^{2} = - 1575 + 1600$

Paso 1.5

Suma $- 1575$ y $1600$ .

$x^{2} + 25 {(y - 8)}^{2} = 25$

Paso 1.6

Divide cada término por $25$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{25 {(y - 8)}^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Paso 1.7

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + {(y - 8)}^{2} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 5$

$b = 1$

$k = 8$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 8)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 - {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{25 - 1 \cdot 1}$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{25 - 1}$

Paso 5.3.4

Resta $1$ de $25$ .

$\sqrt{24}$

Paso 5.3.5

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 5.3.5.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$\sqrt{4 (6)}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Paso 5.3.6

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{6}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 5, 8)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(5, 8)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (5), 8)$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- 5, 8)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 8)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 2 \sqrt{6}, 8)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(2 \sqrt{6}, 8)$

Paso 7.4

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (2 \sqrt{6}), 8)$

Paso 7.6

Simplifica.

$(- 2 \sqrt{6}, 8)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{6}, 8)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}}{5}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1^{2}}}{5}$

Paso 8.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 1}}{5}$

Paso 8.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1}}{5}$

Paso 8.3.4

Resta $1$ de $25$ .

$\frac{\sqrt{24}}{5}$

Paso 8.3.5

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 8.3.5.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{5}$

Paso 8.3.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{5}$

Paso 8.3.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{6}, 8)$

Excentricidad: $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Paso 10