Trigonometría Ejemplos

$x^{2} + 6 x - 3 y - 6 = 0$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x - 3 y - 6 = - x^{2}$

Paso 1.1.2

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y - 6 = - x^{2} - 6 x$

Paso 1.1.3

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 y = - x^{2} - 6 x + 6$

Paso 1.2

Divide cada término en $- 3 y = - x^{2} - 6 x + 6$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $- 3 y = - x^{2} - 6 x + 6$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- x^{2}}{- 3} + \frac{- 6 x}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- x^{2}}{- 3} + \frac{- 6 x}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 3} + \frac{- 6 x}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $- 3$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $- 3$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 (2 x)}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $- 3$ de $- 3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 (2 x)}{- 3 (1)} + \frac{6}{- 3}$

Paso 1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 (2 x)}{- 3 \cdot 1} + \frac{6}{- 3}$

Paso 1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{1} + \frac{6}{- 3}$

Paso 1.2.3.1.2.2.4

Divide $2 x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + 2 x + \frac{6}{- 3}$

Paso 1.2.3.1.3

Divide $6$ por $- 3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + 2 x - 2$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{3} + 2 x - 2$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = 2$

$c = - 2$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 1 \cdot 3$

Paso 2.1.1.3.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$d = 3$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$e = - 2 - \frac{4}{\frac{4}{3}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - 2 - (4 (\frac{3}{4}))$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.1.4.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$e = - 2 - (4 (\frac{3}{4}))$

Paso 2.1.1.4.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$e = - 2 - 1 \cdot 3$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e = - 2 - 3$

Paso 2.1.1.4.2.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$e = - 5$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} - 5$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{2} - 5$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = - 3$

$k = - 5$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 3, - 5)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Paso 2.5.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{3}{4})$

Paso 2.5.3.3

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 3, - \frac{17}{4})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 3$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{23}{4}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 3, - 5)$

Foco: $(- 3, - \frac{17}{4})$

Eje de simetría: $x = - 3$

Directriz: $y = - \frac{23}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 3, - 5)$

Foco: $(- 3, - \frac{17}{4})$

Eje de simetría: $x = - 3$

Directriz: $y = - \frac{23}{4}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{3} + 2 (- 4) - 2$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + 2 (- 4) - 2$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} - 8 - 2$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Escribe $- 8$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8}{1} - 2$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} - 2$

Paso 3.2.2.4

Escribe $- 2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 4) = \frac{16 - 8 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$f (- 4) = \frac{16 - 24 - 2 \cdot 3}{3}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f (- 4) = \frac{16 - 24 - 6}{3}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Resta $24$ de $16$ .

$f (- 4) = \frac{- 8 - 6}{3}$

Paso 3.2.5.2

Resta $6$ de $- 8$ .

$f (- 4) = \frac{- 14}{3}$

Paso 3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 4) = - \frac{14}{3}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $- \frac{14}{3}$ .

$- \frac{14}{3}$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = - 4$ es $- \frac{14}{3}$ .

$y = - \frac{14}{3}$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{3} + 2 (- 5) - 2$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + 2 (- 5) - 2$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} - 10 - 2$

Paso 3.5.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.5.2.1

Escribe $- 10$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10}{1} - 2$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $\frac{- 10}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2$

Paso 3.5.2.3

Multiplica $\frac{- 10}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3} - 2$

Paso 3.5.2.4

Escribe $- 2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}$

Paso 3.5.2.5

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.5.2.6

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Paso 3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 5) = \frac{25 - 10 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

Paso 3.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $- 10$ por $3$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 30 - 2 \cdot 3}{3}$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 30 - 6}{3}$

Paso 3.5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.5.1

Resta $30$ de $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 5 - 6}{3}$

Paso 3.5.5.2

Resta $6$ de $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 11}{3}$

Paso 3.5.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 5) = - \frac{11}{3}$

Paso 3.5.6

La respuesta final es $- \frac{11}{3}$ .

$- \frac{11}{3}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = - 5$ es $- \frac{11}{3}$ .

$y = - \frac{11}{3}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{3} + 2 (0) - 2$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{3} + 2 (0) - 2$

Paso 3.8.1.2

Divide $0$ por $3$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) - 2$

Paso 3.8.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Paso 3.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.8.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Paso 3.8.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$f (0) = - 2$

Paso 3.8.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 0$ es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + 2 (- 2) - 2$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Obtén el denominador común

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Paso 3.11.1.1

Escribe $2 (- 2)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2)}{1} - 2$

Paso 3.11.1.2

Multiplica $\frac{2 (- 2)}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2)}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2$

Paso 3.11.1.3

Multiplica $\frac{2 (- 2)}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2) \cdot 3}{3} - 2$

Paso 3.11.1.4

Escribe $- 2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2) \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}$

Paso 3.11.1.5

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2) \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.11.1.6

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2) \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Paso 3.11.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

Paso 3.11.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.3.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 + 2 (- 2) \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

Paso 3.11.3.2

Multiplica $2 (- 2) \cdot 3$ .

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Paso 3.11.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 4 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

Paso 3.11.3.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 12 - 2 \cdot 3}{3}$

Paso 3.11.3.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 12 - 6}{3}$

Paso 3.11.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.11.4.1

Resta $12$ de $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 6}{3}$

Paso 3.11.4.2

Resta $6$ de $- 8$ .

$f (- 2) = \frac{- 14}{3}$

Paso 3.11.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - \frac{14}{3}$

Paso 3.11.5

La respuesta final es $- \frac{14}{3}$ .

$- \frac{14}{3}$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- \frac{14}{3}$ .

$y = - \frac{14}{3}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - \frac{11}{3} \\ - 4 & - \frac{14}{3} \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{14}{3} \\ 0 & - 2 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 3, - 5)$

Foco: $(- 3, - \frac{17}{4})$

Eje de simetría: $x = - 3$

Directriz: $y = - \frac{23}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - \frac{11}{3} \\ - 4 & - \frac{14}{3} \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{14}{3} \\ 0 & - 2 \end{array}$

Paso 5