Trigonometría Ejemplos

$a = 10$ , $b = 7$ , $c = 5$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$A = \arccos (\frac{{(7)}^{2} + {(5)}^{2} - {(10)}^{2}}{2 (7) (5)})$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 5^{2} - 10^{2}}{2 (7) \cdot 5})$

Paso 4.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 10^{2}}{2 (7) \cdot 5})$

Paso 4.1.3

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 1 \cdot 100}{2 (7) \cdot 5})$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 100}{2 (7) \cdot 5})$

Paso 4.1.5

Suma $49$ y $25$ .

$A = \arccos (\frac{74 - 100}{2 (7) \cdot 5})$

Paso 4.1.6

Resta $100$ de $74$ .

$A = \arccos (\frac{- 26}{2 (7) \cdot 5})$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$A = \arccos (\frac{- 26}{14 \cdot 5})$

Paso 4.2.2

Multiplica $14$ por $5$ .

$A = \arccos (\frac{- 26}{70})$

Paso 4.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $- 26$ y $70$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 26$ .

$A = \arccos (\frac{2 (- 13)}{70})$

Paso 4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $70$ .

$A = \arccos (\frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 35})$

Paso 4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$A = \arccos (\frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 35})$

Paso 4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \arccos (\frac{- 13}{35})$

Paso 4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = \arccos (- \frac{13}{35})$

Paso 4.4

Evalúa $\arccos (- \frac{13}{35})$ .

$A = 111.80374798$

Paso 5

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Paso 6

Resuelve la ecuación.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Paso 7

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$B = \arccos (\frac{{(10)}^{2} + {(5)}^{2} - {(7)}^{2}}{2 (10) (5)})$

Paso 8

Simplifica los resultados.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 5^{2} - 7^{2}}{2 (10) \cdot 5})$

Paso 8.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 25 - 7^{2}}{2 (10) \cdot 5})$

Paso 8.1.3

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 25 - 1 \cdot 49}{2 (10) \cdot 5})$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 25 - 49}{2 (10) \cdot 5})$

Paso 8.1.5

Suma $100$ y $25$ .

$B = \arccos (\frac{125 - 49}{2 (10) \cdot 5})$

Paso 8.1.6

Resta $49$ de $125$ .

$B = \arccos (\frac{76}{2 (10) \cdot 5})$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $2$ por $10$ .

$B = \arccos (\frac{76}{20 \cdot 5})$

Paso 8.2.2

Multiplica $20$ por $5$ .

$B = \arccos (\frac{76}{100})$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $76$ y $100$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $4$ de $76$ .

$B = \arccos (\frac{4 (19)}{100})$

Paso 8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $4$ de $100$ .

$B = \arccos (\frac{4 \cdot 19}{4 \cdot 25})$

Paso 8.3.2.2

Cancela el factor común.

$B = \arccos (\frac{4 \cdot 19}{4 \cdot 25})$

Paso 8.3.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \arccos (\frac{19}{25})$

Paso 8.4

Evalúa $\arccos (\frac{19}{25})$ .

$B = 40.53580211$

Paso 9

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$111.80374798 + C + 40.53580211 = 180$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 10.1

Suma $111.80374798$ y $40.53580211$ .

$C + 152.3395501 = 180$

Paso 10.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.2.1

Resta $152.3395501$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 152.3395501$

Paso 10.2.2

Resta $152.3395501$ de $180$ .

$C = 27.66044989$

Paso 11

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 111.80374798$

$B = 40.53580211$

$C = 27.66044989$

$a = 10$

$b = 7$

$c = 5$