Trigonometría Ejemplos

$a = 8$ , $c = 13$ , $B = 150$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 13 \cos (150)}$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$b = \sqrt{64 + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

Paso 4.2

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

Paso 4.3

Multiplica $- 2 \cdot 8 \cdot 13$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 16 \cdot (13 \cos (150))}$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 16$ por $13$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \cos (150)}$

Paso 4.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \cos (30))}$

Paso 4.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Paso 4.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Paso 4.6.2

Factoriza $2$ de $- 208$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 (- 104) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Paso 4.6.3

Cancela el factor común.

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 \cdot (- 104 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Paso 4.6.4

Reescribe la expresión.

$b = \sqrt{64 + 169 - 104 (- \sqrt{3})}$

Paso 4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 104$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 104 \sqrt{3}}$

Paso 4.7.2

Suma $64$ y $169$ .

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

Paso 5

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $A$ .

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $8$ .

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.1.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (30)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.1.2

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (A) = 8 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

Paso 7.2.2.1.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 (\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}})}$

Paso 7.2.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$\sin (A) = 2 \cdot 4 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 4 \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Paso 7.2.2.1.5

Combina $4$ y $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Paso 7.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$A = \arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

Paso 7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.1

Evalúa $\arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$ .

$A = 11.34962381$

Paso 7.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$A = 180 - 11.34962381$

Paso 7.6

Resta $11.34962381$ de $180$ .

$A = 168.65037618$

Paso 7.7

La solución a la ecuación $A = 11.34962381$ .

$A = 11.34962381, 168.65037618$

Paso 7.8

Excluye el ángulo no válido.

$A = 11.34962381$

Paso 8

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$11.34962381 + C + 150 = 180$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 9.1

Suma $11.34962381$ y $150$ .

$C + 161.34962381 = 180$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Resta $161.34962381$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 161.34962381$

Paso 9.2.2

Resta $161.34962381$ de $180$ .

$C = 18.65037618$

Paso 10

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 11.34962381$

$B = 150$

$C = 18.65037618$

$a = 8$

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

$c = 13$