Trigonometría Ejemplos

$a = 4$ , $b = 5$ , $C = 161$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$c = \sqrt{{(4)}^{2} + {(5)}^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cos (161)}$

Paso 4

Simplifica los resultados.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{16 + {(5)}^{2} - 2 \cdot 4 \cdot (5 \cos (161))}$

Paso 4.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{16 + 25 - 2 \cdot 4 \cdot (5 \cos (161))}$

Paso 4.3

Multiplica $- 2 \cdot 4 \cdot 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$c = \sqrt{16 + 25 - 8 \cdot (5 \cos (161))}$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 8$ por $5$ .

$c = \sqrt{16 + 25 - 40 \cos (161)}$

Paso 4.4

Evalúa $\cos (161)$ .

$c = \sqrt{16 + 25 - 40 \cdot - 0.94551857}$

Paso 4.5

Multiplica $- 40$ por $- 0.94551857$ .

$c = \sqrt{16 + 25 + 37.82074302}$

Paso 4.6

Suma $16$ y $25$ .

$c = \sqrt{41 + 37.82074302}$

Paso 4.7

Suma $41$ y $37.82074302$ .

$c = \sqrt{78.82074302}$

Paso 4.8

Evalúa la raíz.

$c = 8.87810469$

Paso 5

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $A$ .

$\frac{\sin (A)}{4} = \frac{\sin (161)}{8.87810469}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $A$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{\sin (A)}{4} = 4 \frac{\sin (161)}{8.87810469}$

Paso 7.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{\sin (A)}{4} = 4 \frac{\sin (161)}{8.87810469}$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 4 \frac{\sin (161)}{8.87810469}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Simplifica $4 \frac{\sin (161)}{8.87810469}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.1

Evalúa $\sin (161)$ .

$\sin (A) = 4 (\frac{0.32556815}{8.87810469})$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $0.32556815$ por $8.87810469$ .

$\sin (A) = 4 \cdot 0.0366709$

Paso 7.2.2.1.3

Multiplica $4$ por $0.0366709$ .

$\sin (A) = 0.14668362$

Paso 7.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$A = \arcsin (0.14668362)$

Paso 7.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Evalúa $\arcsin (0.14668362)$ .

$A = 8.4347866$

Paso 7.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$A = 180 - 8.4347866$

Paso 7.6

Resta $8.4347866$ de $180$ .

$A = 171.56521339$

Paso 7.7

La solución a la ecuación $A = 8.4347866$ .

$A = 8.4347866, 171.56521339$

Paso 7.8

Excluye el ángulo no válido.

$A = 8.4347866$

Paso 8

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$8.4347866 + 161 + B = 180$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Suma $8.4347866$ y $161$ .

$169.4347866 + B = 180$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Resta $169.4347866$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 180 - 169.4347866$

Paso 9.2.2

Resta $169.4347866$ de $180$ .

$B = 10.56521339$

Paso 10

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 8.4347866$

$B = 10.56521339$

$C = 161$

$a = 4$

$b = 5$

$c = 8.87810469$