Trigonometría Ejemplos

$B = 85$ , $C = 15$ , $b = 40$

Paso 1

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $c$ .

$\frac{\sin (15)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $c$ .

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Paso 3.1

Factoriza cada término.

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Paso 3.1.1

El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 3.1.1.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\sin (45 - 30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.1.2

Separa la negación.

$\frac{\sin (45 - (30))}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.1.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.1.4

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.1.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.1.6

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.1.7

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.1.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.1.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 3.1.1.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.1.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.1.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.1.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.1.8.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.1.1.8.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.1.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.1.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{c}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 3.1.4

Evalúa $\sin (85)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = \frac{0.99619469}{40}$

Paso 3.1.5

Divide $0.99619469$ por $40$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$4 c, 1$

Paso 3.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$4 c$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$ por $4 c$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$ por $4 c$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} (4 c) = 0.02490486 (4 c)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} c = 0.02490486 (4 c)$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $4 c$ .

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 (c)} c = 0.02490486 (4 c)$

Paso 3.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} c = 0.02490486 (4 c)$

Paso 3.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{c} c = 0.02490486 (4 c)$

Paso 3.3.2.3

Cancela el factor común de $c$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{c} c = 0.02490486 (4 c)$

Paso 3.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.02490486 (4 c)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $4$ por $0.02490486$ .

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.09961946 c$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ por $0.09961946$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ por $0.09961946$ .

$\frac{0.09961946 c}{0.09961946} = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $0.09961946$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.09961946 c}{0.09961946} = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Evalúa la raíz.

$c = \frac{2.44948974}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Divide $2.44948974$ por $0.09961946$ .

$c = 24.58846395 + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Paso 3.4.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$c = 24.58846395 - \frac{\sqrt{2}}{0.09961946}$

Paso 3.4.2.3.1.4

Evalúa la raíz.

$c = 24.58846395 - \frac{1.41421356}{0.09961946}$

Paso 3.4.2.3.1.5

Divide $1.41421356$ por $0.09961946$ .

$c = 24.58846395 - 1 \cdot 14.19615628$

Paso 3.4.2.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $14.19615628$ .

$c = 24.58846395 - 14.19615628$

Paso 3.4.2.3.2

Resta $14.19615628$ de $24.58846395$ .

$c = 10.39230767$

Paso 4

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$A + 15 + 85 = 180$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 5.1

Suma $15$ y $85$ .

$A + 100 = 180$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $100$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 180 - 100$

Paso 5.2.2

Resta $100$ de $180$ .

$A = 80$

Paso 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 7

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $a$ .

$\frac{\sin (80)}{a} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 8

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 8.1

Factoriza cada término.

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Paso 8.1.1

Evalúa $\sin (80)$ .

$\frac{0.98480775}{a} = \frac{\sin (85)}{40}$

Paso 8.1.2

Evalúa $\sin (85)$ .

$\frac{0.98480775}{a} = \frac{0.99619469}{40}$

Paso 8.1.3

Divide $0.99619469$ por $40$ .

$\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$

Paso 8.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 8.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$a, 1$

Paso 8.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$a$

Paso 8.3

Multiplica cada término en $\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$ por $a$ para eliminar las fracciones.

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Paso 8.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$ por $a$ .

$\frac{0.98480775}{a} a = 0.02490486 a$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.1

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.98480775}{a} a = 0.02490486 a$

Paso 8.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$0.98480775 = 0.02490486 a$

Paso 8.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 8.4.1

Reescribe la ecuación como $0.02490486 a = 0.98480775$ .

$0.02490486 a = 0.98480775$

Paso 8.4.2

Divide cada término en $0.02490486 a = 0.98480775$ por $0.02490486$ y simplifica.

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Paso 8.4.2.1

Divide cada término en $0.02490486 a = 0.98480775$ por $0.02490486$ .

$\frac{0.02490486 a}{0.02490486} = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

Paso 8.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.2.2.1

Cancela el factor común de $0.02490486$ .

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Paso 8.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.02490486 a}{0.02490486} = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

Paso 8.4.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

Paso 8.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.3.1

Divide $0.98480775$ por $0.02490486$ .

$a = 39.54278234$

Paso 9

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 80$

$B = 85$

$C = 15$

$a = 39.54278234$

$b = 40$

$c = 10.39230767$