Trigonometría Ejemplos

$a = 4$ , $b = 10$ , $c = 7$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$A = \arccos (\frac{{(10)}^{2} + {(7)}^{2} - {(4)}^{2}}{2 (10) (7)})$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{100 + 7^{2} - 4^{2}}{2 (10) \cdot 7})$

Paso 4.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{100 + 49 - 4^{2}}{2 (10) \cdot 7})$

Paso 4.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{100 + 49 - 1 \cdot 16}{2 (10) \cdot 7})$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$A = \arccos (\frac{100 + 49 - 16}{2 (10) \cdot 7})$

Paso 4.1.5

Suma $100$ y $49$ .

$A = \arccos (\frac{149 - 16}{2 (10) \cdot 7})$

Paso 4.1.6

Resta $16$ de $149$ .

$A = \arccos (\frac{133}{2 (10) \cdot 7})$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $10$ .

$A = \arccos (\frac{133}{20 \cdot 7})$

Paso 4.2.2

Multiplica $20$ por $7$ .

$A = \arccos (\frac{133}{140})$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $133$ y $140$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $7$ de $133$ .

$A = \arccos (\frac{7 (19)}{140})$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $7$ de $140$ .

$A = \arccos (\frac{7 \cdot 19}{7 \cdot 20})$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$A = \arccos (\frac{7 \cdot 19}{7 \cdot 20})$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \arccos (\frac{19}{20})$

Paso 4.4

Evalúa $\arccos (\frac{19}{20})$ .

$A = 18.19487233$

Paso 5

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Paso 6

Resuelve la ecuación.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Paso 7

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$B = \arccos (\frac{{(4)}^{2} + {(7)}^{2} - {(10)}^{2}}{2 (4) (7)})$

Paso 8

Simplifica los resultados.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{16 + 7^{2} - 10^{2}}{2 (4) \cdot 7})$

Paso 8.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{16 + 49 - 10^{2}}{2 (4) \cdot 7})$

Paso 8.1.3

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{16 + 49 - 1 \cdot 100}{2 (4) \cdot 7})$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$B = \arccos (\frac{16 + 49 - 100}{2 (4) \cdot 7})$

Paso 8.1.5

Suma $16$ y $49$ .

$B = \arccos (\frac{65 - 100}{2 (4) \cdot 7})$

Paso 8.1.6

Resta $100$ de $65$ .

$B = \arccos (\frac{- 35}{2 (4) \cdot 7})$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$B = \arccos (\frac{- 35}{8 \cdot 7})$

Paso 8.2.2

Multiplica $8$ por $7$ .

$B = \arccos (\frac{- 35}{56})$

Paso 8.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $- 35$ y $56$ .

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Paso 8.3.1.1

Factoriza $7$ de $- 35$ .

$B = \arccos (\frac{7 (- 5)}{56})$

Paso 8.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.2.1

Factoriza $7$ de $56$ .

$B = \arccos (\frac{7 \cdot - 5}{7 \cdot 8})$

Paso 8.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$B = \arccos (\frac{7 \cdot - 5}{7 \cdot 8})$

Paso 8.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \arccos (\frac{- 5}{8})$

Paso 8.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = \arccos (- \frac{5}{8})$

Paso 8.4

Evalúa $\arccos (- \frac{5}{8})$ .

$B = 128.68218745$

Paso 9

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$18.19487233 + C + 128.68218745 = 180$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 10.1

Suma $18.19487233$ y $128.68218745$ .

$C + 146.87705979 = 180$

Paso 10.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.2.1

Resta $146.87705979$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 146.87705979$

Paso 10.2.2

Resta $146.87705979$ de $180$ .

$C = 33.1229402$

Paso 11

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 18.19487233$

$B = 128.68218745$

$C = 33.1229402$

$a = 4$

$b = 10$

$c = 7$