Trigonometría Ejemplos

$\frac{- \frac{1}{\sqrt{15}} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5}}$

Paso 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sqrt{15} \cdot 5$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{- \frac{1}{\sqrt{15}} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5}}$ por $\frac{\sqrt{15} \cdot 5}{\sqrt{15} \cdot 5}$ .

$\frac{\sqrt{15} \cdot 5}{\sqrt{15} \cdot 5} \cdot \frac{- \frac{1}{\sqrt{15}} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5}}$

Paso 1.2

Combinar.

$\frac{\sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} + \frac{12}{5})}{\sqrt{15} \cdot 5 (1 - \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}}) + \sqrt{15} \cdot 5 \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $\sqrt{15}$ .

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Paso 3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{\sqrt{15}}$ al numerador.

$\frac{\sqrt{15} \cdot 5 \frac{- 1}{\sqrt{15}} + \sqrt{15} \cdot 5 \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 3.1.2

Factoriza $\sqrt{15}$ de $\sqrt{15} \cdot 5$ .

$\frac{\sqrt{15} (5) \frac{- 1}{\sqrt{15}} + \sqrt{15} \cdot 5 \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{15} \cdot 5 \frac{- 1}{\sqrt{15}} + \sqrt{15} \cdot 5 \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 3.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \cdot - 1 + \sqrt{15} \cdot 5 \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 3.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 + \sqrt{15} \cdot 5 \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $5$ de $\sqrt{15} \cdot 5$ .

$\frac{- 5 + 5 \cdot \sqrt{15} \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 + 5 \cdot \sqrt{15} \frac{12}{5}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 + \sqrt{15} \cdot 12}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 4

Mueve $12$ a la izquierda de $\sqrt{15}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot 5 \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{15}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \cdot \sqrt{15} \cdot 1 + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \sqrt{15} \cdot 5 (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.3

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{15}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \cdot \sqrt{15} (- \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.4

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- (\frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}) \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.5.2

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.5.3

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.5.6

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 5.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{15^{1}} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.5.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (- \frac{\sqrt{15}}{15} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{15}}{15}$ al numerador.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (\frac{- \sqrt{15}}{15} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.6.2

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (\frac{- \sqrt{15}}{3 (5)} \cdot \frac{12}{5})}$

Paso 5.6.3

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (\frac{- \sqrt{15}}{3 \cdot 5} \cdot \frac{3 \cdot 4}{5})}$

Paso 5.6.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (\frac{- \sqrt{15}}{3 \cdot 5} \cdot \frac{3 \cdot 4}{5})}$

Paso 5.6.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} (\frac{- \sqrt{15}}{5} \cdot \frac{4}{5})}$

Paso 5.7

Multiplica $\frac{- \sqrt{15}}{5}$ por $\frac{4}{5}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} \frac{- \sqrt{15} \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Paso 5.8

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} \frac{- 4 \sqrt{15}}{5 \cdot 5}}$

Paso 5.9

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} \frac{- 4 \sqrt{15}}{25}}$

Paso 5.10

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.10.1

Factoriza $5$ de $5 \sqrt{15}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 (\sqrt{15}) \frac{- 4 \sqrt{15}}{25}}$

Paso 5.10.2

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 (\sqrt{15}) \frac{- 4 \sqrt{15}}{5 (5)}}$

Paso 5.10.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} \frac{- 4 \sqrt{15}}{5 \cdot 5}}$

Paso 5.10.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \sqrt{15} \frac{- 4 \sqrt{15}}{5}}$

Paso 5.11

Combina $\sqrt{15}$ y $\frac{- 4 \sqrt{15}}{5}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{\sqrt{15} (- 4 \sqrt{15})}{5}}$

Paso 5.12

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})}{5}}$

Paso 5.13

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})}{5}}$

Paso 5.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 {\sqrt{15}}^{1 + 1}}{5}}$

Paso 5.15

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 {\sqrt{15}}^{2}}{5}}$

Paso 5.16

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 5.16.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5}}$

Paso 5.16.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5}}$

Paso 5.16.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5}}$

Paso 5.16.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.16.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{5}}$

Paso 5.16.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 \cdot 15^{1}}{5}}$

Paso 5.16.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 4 \cdot 15}{5}}$

Paso 5.17

Multiplica $- 4$ por $15$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + \frac{- 60}{5}}$

Paso 5.18

Divide $- 60$ por $5$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} - 12}$

Paso 6

Multiplica $\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} - 12}$ por $\frac{5 \sqrt{15} + 12}{5 \sqrt{15} + 12}$ .

$\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} - 12} \cdot \frac{5 \sqrt{15} + 12}{5 \sqrt{15} + 12}$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{- 5 + 12 \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} - 12}$ por $\frac{5 \sqrt{15} + 12}{5 \sqrt{15} + 12}$ .

$\frac{(- 5 + 12 \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} + 12)}{(5 \sqrt{15} - 12) (5 \sqrt{15} + 12)}$

Paso 7.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(- 5 + 12 \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} + 12)}{25 {\sqrt{15}}^{2} + 60 \sqrt{15} - 60 \sqrt{15} - 144}$

Paso 7.3

Simplifica.

$\frac{(- 5 + 12 \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} + 12)}{231}$

Paso 8

Expande $(- 5 + 12 \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} + 12)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 5 (5 \sqrt{15} + 12) + 12 \sqrt{15} (5 \sqrt{15} + 12)}{231}$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 5 (5 \sqrt{15}) - 5 \cdot 12 + 12 \sqrt{15} (5 \sqrt{15} + 12)}{231}$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 5 (5 \sqrt{15}) - 5 \cdot 12 + 12 \sqrt{15} (5 \sqrt{15}) + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 5 \cdot 12 + 12 \sqrt{15} (5 \sqrt{15}) + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 5$ por $12$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 12 \sqrt{15} (5 \sqrt{15}) + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.3

Multiplica $12 \sqrt{15} (5 \sqrt{15})$ .

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Paso 9.1.3.1

Multiplica $5$ por $12$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 \sqrt{15} \sqrt{15} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.3.2

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}) + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.3.3

Eleva $\sqrt{15}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}) + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 {\sqrt{15}}^{1 + 1} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 {\sqrt{15}}^{2} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.4

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 9.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 \cdot 15^{\frac{2}{2}} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 \cdot 15^{\frac{2}{2}} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 \cdot 15^{1} + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 60 \cdot 15 + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.5

Multiplica $60$ por $15$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 900 + 12 \sqrt{15} \cdot 12}{231}$

Paso 9.1.6

Multiplica $12$ por $12$ .

$\frac{- 25 \sqrt{15} - 60 + 900 + 144 \sqrt{15}}{231}$

Paso 9.2

Suma $- 25 \sqrt{15}$ y $144 \sqrt{15}$ .

$\frac{- 60 + 900 + 119 \sqrt{15}}{231}$

Paso 9.3

Suma $- 60$ y $900$ .

$\frac{840 + 119 \sqrt{15}}{231}$

Paso 10

Cancela el factor común de $840 + 119 \sqrt{15}$ y $231$ .

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Paso 10.1

Factoriza $7$ de $840$ .

$\frac{7 (120) + 119 \sqrt{15}}{231}$

Paso 10.2

Factoriza $7$ de $119 \sqrt{15}$ .

$\frac{7 (120) + 7 (17 \sqrt{15})}{231}$

Paso 10.3

Factoriza $7$ de $7 (120) + 7 (17 \sqrt{15})$ .

$\frac{7 (120 + 17 \sqrt{15})}{231}$

Paso 10.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.1

Factoriza $7$ de $231$ .

$\frac{7 (120 + 17 \sqrt{15})}{7 \cdot 33}$

Paso 10.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{7 (120 + 17 \sqrt{15})}{7 \cdot 33}$

Paso 10.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{120 + 17 \sqrt{15}}{33}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{120 + 17 \sqrt{15}}{33}$

Forma decimal:

$5.63153687 \dots$