Trigonometría Ejemplos

${(6 (\cos (50) + i \sin (50)))}^{3}$

Paso 1

Aplica la propiedad distributiva.

${(6 \cos (50) + 6 (i \sin (50)))}^{3}$

Paso 2

Usa el teorema del binomio.

${(6 \cos (50))}^{3} + 3 {(6 \cos (50))}^{2} (6 i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $6 \cos (50)$ .

$6^{3} \cos^{3} (50) + 3 {(6 \cos (50))}^{2} (6 i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$216 \cos^{3} (50) + 3 {(6 \cos (50))}^{2} (6 i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.3

Aplica la regla del producto a $6 \cos (50)$ .

$216 \cos^{3} (50) + 3 (6^{2} \cos^{2} (50)) (6 i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.4

Multiplica $6^{2}$ por $6$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.4.1

Mueve $6$ .

$216 \cos^{3} (50) + 3 (6 \cdot 6^{2} \cos^{2} (50)) (i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $6$ por $6^{2}$ .

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Paso 3.1.4.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $1$ .

$216 \cos^{3} (50) + 3 (6^{1} \cdot 6^{2} \cos^{2} (50)) (i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$216 \cos^{3} (50) + 3 (6^{1 + 2} \cos^{2} (50)) (i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$216 \cos^{3} (50) + 3 (6^{3} \cos^{2} (50)) (i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.5

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$216 \cos^{3} (50) + 3 (216 \cos^{2} (50)) (i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.6

Multiplica $216$ por $3$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) (i \sin (50)) + 3 (6 \cos (50)) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.7

Multiplica $6$ por $3$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) + 18 \cos (50) {(6 i \sin (50))}^{2} + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.8

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.8.1

Aplica la regla del producto a $6 i \sin (50)$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) + 18 \cos (50) ({(6 i)}^{2} \sin^{2} (50)) + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.8.2

Aplica la regla del producto a $6 i$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) + 18 \cos (50) (6^{2} i^{2} \sin^{2} (50)) + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.9

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) + 18 \cos (50) (36 i^{2} \sin^{2} (50)) + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.10

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) + 18 \cos (50) (36 \cdot - 1 \sin^{2} (50)) + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.11

Multiplica $36$ por $- 1$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) + 18 \cos (50) (- 36 \sin^{2} (50)) + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.12

Multiplica $- 36$ por $18$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + {(6 i \sin (50))}^{3}$

Paso 3.1.13

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.13.1

Aplica la regla del producto a $6 i \sin (50)$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + {(6 i)}^{3} \sin^{3} (50)$

Paso 3.1.13.2

Aplica la regla del producto a $6 i$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + 6^{3} i^{3} \sin^{3} (50)$

Paso 3.1.14

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + 216 i^{3} \sin^{3} (50)$

Paso 3.1.15

Factoriza $i^{2}$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + 216 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (50)$

Paso 3.1.16

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + 216 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (50)$

Paso 3.1.17

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + 216 (- i) \sin^{3} (50)$

Paso 3.1.18

Multiplica $- 1$ por $216$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) - 216 i \sin^{3} (50)$

Paso 3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1

Reordena los factores en $216 \cos^{3} (50) + 648 \cos^{2} (50) i \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) - 216 i \sin^{3} (50)$ .

$216 \cos^{3} (50) + 648 i \cos^{2} (50) \sin (50) - 648 \cos (50) \sin^{2} (50) - 216 i \sin^{3} (50)$

Paso 3.2.2

Reordena $216 \cos^{3} (50) + 648 i \cos^{2} (50) \sin (50)$ y $- 648 \cos (50) \sin^{2} (50)$ .

$- 648 \cos (50) \sin^{2} (50) + 216 \cos^{3} (50) + 648 i \cos^{2} (50) \sin (50) - 216 i \sin^{3} (50)$