Trigonometría Ejemplos

$i^{- 15}$

Paso 1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{i^{15}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $i^{15}$ como ${(i^{4})}^{3} (i^{2} \cdot i)$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $i^{12}$ .

$\frac{1}{i^{12} i^{3}}$

Paso 2.1.2

Reescribe $i^{12}$ como ${(i^{4})}^{3}$ .

$\frac{1}{{(i^{4})}^{3} i^{3}}$

Paso 2.1.3

Factoriza $i^{2}$ .

$\frac{1}{{(i^{4})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Paso 2.2

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.2.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{{({(i^{2})}^{2})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Paso 2.2.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1}{{({(- 1)}^{2})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Paso 2.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{1^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Paso 2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1 (i^{2} \cdot i)}$

Paso 2.4

Multiplica $i^{2} \cdot i$ por $1$ .

$\frac{1}{i^{2} \cdot i}$

Paso 2.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot i}$

Paso 2.6

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$\frac{1}{- i}$

Paso 3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- i}$

Paso 3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{i}$

Paso 4

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{1}{i}$ por el conjugado de $i$ para hacer real el denominador.

$- (\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i})$

Paso 5

Multiplica.

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Paso 5.1

Combinar.

$- \frac{1 i}{i i}$

Paso 5.2

Multiplica $i$ por $1$ .

$- \frac{i}{i i}$

Paso 5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{i}{i^{1} i}$

Paso 5.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{i}{i^{1} i^{1}}$

Paso 5.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{i}{i^{1 + 1}}$

Paso 5.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{i}{i^{2}}$

Paso 5.3.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- \frac{i}{- 1}$

Paso 6

Mueve el negativo del denominador de $\frac{i}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot i)$

Paso 7

Reescribe $- 1 \cdot i$ como $- i$ .

$- - i$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 i$

Paso 9

Multiplica $i$ por $1$ .

$i$

Paso 10

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 11

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 12

Sustituye los valores reales de $a = 0$ y $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Paso 13

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 1$

Paso 14

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{1}{0})$

Paso 15

Como el argumento es indefinido y $b$ es positiva, el ángulo del punto en el plano complejo es $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Paso 16

Sustituye los valores de $θ = \frac{π}{2}$ y $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$