Trigonometría Ejemplos

${(2 - 2 i)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(2 - 2 i)}^{2}$ como $(2 - 2 i) (2 - 2 i)$ .

$(2 - 2 i) (2 - 2 i)$

Paso 2

Expande $(2 - 2 i) (2 - 2 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 - 2 i) - 2 i (2 - 2 i)$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (- 2 i) - 2 i (2 - 2 i)$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (- 2 i) - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 + 2 (- 2 i) - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$4 - 4 i - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Paso 3.1.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$4 - 4 i - 4 i - 2 i (- 2 i)$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 2 i (- 2 i)$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 i i$

Paso 3.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 (i^{1} i)$

Paso 3.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 (i^{1} i^{1})$

Paso 3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 - 4 i - 4 i + 4 i^{1 + 1}$

Paso 3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 i^{2}$

Paso 3.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 \cdot - 1$

Paso 3.1.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 - 4 i - 4 i - 4$

Paso 3.2

Resta $4$ de $4$ .

$0 - 4 i - 4 i$

Paso 3.3

Resta $4 i$ de $0$ .

$- 4 i - 4 i$

Paso 3.4

Resta $4 i$ de $- 4 i$ .

$- 8 i$

Paso 4

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 5

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 6

Sustituye los valores reales de $a = 0$ y $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Paso 7

Obtén $| z |$ .

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Paso 7.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Paso 7.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Paso 7.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 8$

Paso 8

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Paso 9

Como el argumento es indefinido y $b$ es negativa, el ángulo del punto en el plano complejo es $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 10

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{2}$ y $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$